Лекция 4. Понятие комплексного числа

Комплексным числом называется выражение вида

Например.

Действительная и мнимая часть комплексного числа

Действительное число называется действительной частью комплексного числа и обозначается (От французского слова reel - действительный).

Действительное число называется мнимой частью числа и обозначается (От французского слова imaginaire - мнимый).

Например. Для комплексного числа действительная часть , а мнимая - .

Если действительная часть комплексного числа равна нулю (), то комплексное число называется чисто мнимым.

Например.

Мнимая единица

Величина называется мнимой единицей и удовлетворяет соотношению:

Равные комплексные числа

Два комплексных числа и называются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно:

Задание. Определить при каких значениях и числа и будут равными.

Решение. Согласно определению тогда и только тогда, когда

Ответ.

Число называется комплексно сопряженным числом к числу .

То есть комплексно сопряженные числа отличаются лишь знаком мнимой части.

Например. Для комплексного числа комплексно сопряженным есть число ; для комплексно сопряженное и для имеем, что .

Комплексное число называется противоположным к комплексному числу .

Например. Противоположным к числу есть число: .

Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число , которое равно

То есть суммой двух комплексных чисел есть комплексное число, действительная и мнимая части которого есть суммой действительных и мнимых частей чисел-слагаемых соответственно.

Задание. Найти сумму , если , .

Решение. Искомая сумма равна

Ответ.

Вычитание комплексных чисел

Разностью двух комплексных чисел и называется комплексное число , действительная и мнимая части которого есть разностью действительных и мнимых частей чисел и соответственно:

Задание. Найти разность , если , .

Решение. Действительная часть искомого комплексного числа равна разности действительных частей чисел и , а мнимая - мнимых частей этих чисел, то есть

Ответ.

Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число , равное

На практике чаще всего комплексные числа перемножают как алгебраические двучлены , просто раскрыв скобки, в полученном результате надо учесть, что .

Задание. Найти произведение комплексных чисел и .

Решение. Перемножим заданные комплексные числа как два двучлена, то есть

Ответ.

Комплексно сопряженные числа

Если , то число называется комплексным сопряженным к числу .

То есть у комплексно сопряженных чисел действительные части равны, а мнимые отличаются знаком.

Например. Комплексно сопряженным к числу есть число .

На комплексной плоскости комплексно сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно действительной оси.

Свойства комплексно сопряженных чисел

1) Если , то можно сделать вывод, что рассматриваемое число является действительным.

Например. и

2) Для любого комплексного числа сумма - действительное число.

Например. Пусть , тогда , а тогда

3) Для произвольного комплексного числа произведение .

Например. Пусть , комплексно сопряженное к нему число , тогда произведение

4) Модули комплексно сопряженных чисел равны: , а аргументы отличаются знаком (рис. 1).

5)

6)

7)

8)

9) Если и - комплексно сопряженные числа, то