II Теория вероятностей

Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений, наблюдаемых при массовых повторениях испытаний.

Случайные события

Основные понятия.

Под испытанием (опытом) понимается осуществление некоторого комплекса условий. Событием назовем всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Событие A в опыте называется достоверным, если при повторениях опыта оно всегда происходит.

Событие B в опыте называется невозможным, если при повторениях опыта оно никогда не происходит.

Событие в опыте называется случайным, если при повторениях опыта оно иногда происходит, иногда нет. Случайные события обозначаются А, В, С и т.д.

Два события называются несовместными (совместными), если появление одного из них исключает (не исключает) появление другого. Несколько событий в данном опыте называются несовместными, если они попарно несовместны. Несколько событий в опыте называются совместными, если совместны хотя бы

два из них.

События в опыте называются равновозможными, если условия их появления одинаковы и нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое.

Полной группой событий называется несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них.

Пример 1 Опыт - бросание игральной кости; события:

А₁ - выпадение одного очка,

А₂ - выпадение двух очков,

А₃ - выпадение трех очков,

А₄ - выпадение четырех очков,

А₅ - выпадение пяти очков,

А₆ - выпадение шести очков,

В - выпадение четного числа очков,

С - выпадение более семи очков,

D - выпадение не менее трех очков,

E - выпадение не более шести.

Достоверное событие в данном опыте - E, невозможное событие - С, остальные события - случайные. Первые шесть событий А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆ не могут быть выражены через более простые события и их называют элементарными событиями (элементарными исходами). Кроме того, они образуют полную группу несовместных равновозможных событий. Событие В можно выразить через более простые события: либо наступит А₂, либо наступит А₄, либо А₆; следовательно, элементарным событием событие В не является.

Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными. Противоположные события обозначаются А и (не А).

Пример 2. Опыт - два выстрела по мишени; события: А - ни одного попадания, - хотя бы одно попадание.

Алгебра событий

Суммой или объединением событий А₁, А₂,..., А_n назовем событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

А₁+А₂+...+А_n=А₁ÈА₂È...ÈА_n.

Произведением или пересечением событий А₁, А₂,..., А_n назовем событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

А_1· А₂·…·А_n =A1∩A2∩...∩An.

Пример 3. Опыт - два выстрела по мишени. Событие А_i - попадание в мишень при i - м выстреле (i =1;2).

Тогда событие В=А₁+А₂ - хотя бы одно попадание, событие С= ₁+ ₂ – хотя бы один промах, событие D= А₁·А₂ - попадание в цель дважды, Е= А₁· ₂ + ₁·А₂ - ровно одно попадание.