Вычисление пределов в точке

1) Предел многочлена. Для вычисления пределов многочлена f(х) = р(х) = ах^п + вх^{п – 1} +… + с при х→а достаточно вместо переменной х подставить значение а, к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия.

Пример3. Вычислить Решение: Применим Теорему 1

) = 49

2) Предел отношения двух многочленов

а) если g(a) ≠ 0, то можно применить теорему о пределе частного.

Пример 4: Вычислить = .

б) если g(a) = 0, то теорему о пределе частного применить нельзя. Тогда если f(а) = А ≠ 0, то = ∞.

Пример 5:

в) если g(a) = 0 и f(а) = 0, то имеем неопределённость вида . В этом случае предел можно вычислить разложением многочленов g(х) и f(х) на множители или заменой у = х – а.

Пример 6:

Вычислить = () = = = или, заменяя у = х – 2 т.е. х = у + 2 и учитывая, что у→0 при х→2, получаем

г) Если функция f(x) или g(x) содержит иррациональное выражение, в этом случае для вычисления предела, надо числитель и знаменатель умножить на выражение, сопряжённому корню.

Пример 7:

= = = = = = -

д) Если функция f(x) и g(x) содержит иррациональное выражение, в этом случае для вычисления предела, надо числитель и знаменатель умножить на выражение, сопряжённому корню числителя и знаменателя.

Пример 8:

Вычисление пределов в бесконечности.

д) Если функция f(х) = ахⁿ + bxⁿ^{– 1} + … + c, то надо вынести за скобки хⁿ, т.о. f(x) = ахⁿ + bxⁿ^{– 1} + … + c) = , тогда является бесконечно малой и стремится к 0.

Пример 9:

е) Если функция f(х) = , где P(x) и Q(x) – многочлены n – степени, то при х →∞ числитель и знаменатель – величины бесконечно большие, поэтому получаем неопределённость вида . Чтобы вычислить предел этой функции, надо числитель и знаменатель разделить на старшую степень знаменателя.