Дифференциальное исчисление

По данной теме ознакомьтесь с методическими указаниями по этой теме и внимательно разберите решение примеров из данного пособия. Выполните упражнения для самопроверки.

Производная и ее приложения

Производная. Понятие производной является одним из фундаментальных понятий к математике. Многие задачи как самой математики, так и естествознания и техники приводят к этому понятию.

Пусть функция определена в промежутке . Возьмем из этого промежутка фиксированное значение аргумента x и придадим ему приращение так, чтобы новое значение аргумента принадлежало этому промежутку. Тогда значение функции заменится новым значением , т.е. функция получит приращение .

Предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении к нулю, т.е.

называется производной функции по аргументу x в точке x.

Производная обозначается одним из символов: , , , а ее значение при обозначается , , .

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Если функция имеет производную в точке x, то она называется дифференцируемой в этой точке.

Если функция имеет производную в каждой точке промежутка X, то говорят, что эта функция дифференцируема на этом промежутке.

Производная сложной функции. Пусть , где u является не независимой переменной, а функцией независимой переменной x: . Таким образом, .

В этом случае функция y называется сложной функцией x, а переменная u – промежуточным аргументом.

Производная сложной функции находится на основании следующей теоремы: если и - дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной функции y по промежуточному аргументу и на производной промежуточного аргумента и по независимой переменной x: