Дифференциальное исчисление

1. Найти производные функций:

Решение:

При выполнении дифференцирования будем использовать свойства производных, таблицу производных, правило дифференцирования сложных функций.

Исследование функций с помощью производной

1. Выполнить исследование свойств функции по первой и второй производным и построить график функции f(x)=x³ - 3x² - 45x + 20

Решение

Воспользуемся некоторыми пунктами исследования функции:

1)Областью определения этой функции является множество всех действительных чисел. Эта функция не является четной или нечетной. График этой функции не имеет асимптот.

1) Найдем первую производную и определим соответствующие свойства

функции. f^’(x)=3x² – 6x –45. Решим уравнение 3х² – 6х – 45 = 0. Корнями уравнения являются числа (-3) и 5.

Воспользуемся таблицей:

х	(-¥; -3)	-3	(-3;5)		(5;¥)
f^’(x)	+		-		+
f(x)		max		min

Функция возрастает в интервалах (-¥;-3) и (5;¥), убывает в интервале (-3; 5).

Функция имеет максимальное значение f(-3)=101, имеет минимальное значение f(5)= - 155.

2) Найдем вторую производную f^”(x)=(3x² – 6x –45)^’=6x-6.

Решим уравнение 6х-6=0. Решением уравнения является х=1.

Для определения свойств функции воспользуемся таблицей:

х	(-¥; 1)		(1;¥)
f^”(x)	-		+
f(x)	Ç выпуклая	точка перегиба	È вогнутая

3) Для построения графика функции воспользуемся результатами вычислений, оформленными в виде таблицы:

х	- 6	-5	-3	- 1
f(x)	- 34				- 27	-74	-144	-155	-99
			max		пер.			min

6. Неопределенный интеграл:

1. Найти неопределенный интеграл:

Решение:

При решении примеров следует пользоваться свойствами неопределенных интегралов, таблицей интегралов, в которую включена формула интеграла функции линейного аргумента, непосредственным интегрированием и методом подстановки.