2015-10-22
2324
1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения I порядка 
.
Решение:
Правая часть уравнения 
обладает свойством 
. Поэтому заданное уравнение является однородным дифференциальным уравнением I порядка. Совершим замену 
, где 
- некоторая функция от аргумента х. Отсюда 
. Исходное уравнение приобретает вид 
.
Продолжаем преобразования: 
; 
.
Производим разделение переменных: 
.
После интегрирования обеих частей уравнения получаем
;
.
Таким образом 
; 
.
Потенцируя, находим 
или 
; 
.
Итак, общий интеграл исходного уравнения приобретает вид
, где С – произвольная постоянная.
2. Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами:
а) 
б) 
в) 
Решение:
а) Для заданного дифференциального уравнения 
составим соответствующее характеристическое уравнение 
по принципу: 
. Решаем полученное квадратное уравнение и получаем два вещественных разных корня 
.
Т.к. 
, то общее решение данных уравнений записывается в виде 
. В нашем случае 
, где 
- произвольные постоянные.
Отсюда 
, 
.
Используя начальные условия 
: 
, т.е. 
.
Из того что 
следует 
, т.е. 
, 
.
Решая систему уравнений 
, получаем 
.
Теперь в наше общее решение подставим найденные значения . Частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, приобретает вид 
.
б) Для заданного дифференциального уравнения 
составим соответствующее характеристическое уравнение 
по принципу: . Решаем полученное квадратное уравнение и получаем два равных вещественных корня 
.
Т.к. 
, то общее решение данных уравнений записывается в виде 
. В нашем случае 
, где - произвольные постоянные.
Отсюда 
, 
.
Учитывая начальные условия, получаем систему уравнений для определения : 
. Решая систему, получаем 
.
Искомое частное решение имеет вид: 
в) Для заданного дифференциального уравнения 
составим соответствующее характеристическое уравнение 
. Решая это уравнение, убеждаем, что оно не имеет вещественных корней.
В этом случае общее решение соответствующего дифференциального уравнения записывается в виде 
, где 
- коэффициенты характеристического уравнения).
У нас 
поэтому общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид 
.
Отсюда 
.
Таким образом, для определения значений исходя из начальных условий, получаем систему уравнений 
,
решая которую имеем 
.
Итак, искомое частное решение приобретает вид
Комплексные числа
1. Построить на координатной плоскости числа Z1, Z2, где Z1=3-2i, Z2=-1+i.
Решение
На координатной плоскости изобразим точки (3; -2), (-1; 1) и соединим их с началом
координат, получив векторы, конечными точками которых являются заданные точки.
