Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна, любой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения данной прямой и плоскости.

Теорема:

Если прямая пересекающая плоскость перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости, и проходящая через точку их пересечения, то она перпендикулярна плоскости.

Дано:α;L∩α=О;ОС Єα;ОВ Єα;АА1 ⊥ОС; АА1 ⊥ОВ

Дополнительное построение: Проведем в плоскости α, любую прямую m проходящую через точку а.

Отложим от точки О, отрезок ОА1, равный отрезку ОА.

Точки В и С соединим, получим точку D. СВ∩m в точке D, точки СВ иD соединяем с точками А и А1.

Доказать:АА1 ⊥α

Доказательство:1)Рассмотрим треугольники АВС и А1ВС

ОА=ОА1(по построению)

ВС-общая

АВ=А1В(как наклонные имеющие одну и туже проекцию т.к АА1 ⊥ОС и АА1 ⊥ОВ) АС=А1С

Треугольник АВС=треугольнику А1ВС –(“по трем сторонам”)

2)Тогда Угол АВД=углуА1ВД

3)Рассмотрим треугольники АВД и А1ВД

ВД-общая;АВ=А1В-равны по доказанному=>треугольник АВД=треугольнику А1ВД=> АД=А1Д

4)Рассмотрим треугольники АОД и А1ОД

АО=А1О-по построению

ОД-общая

АД=А1Д по доказанному =>треугольники АОД=А1ОД=>угол АОД= углу А1ОД,но эти углы являются смежными,т.е в сумме равны 180 градусов.

Угол АОД= углуА1ОД=90градусов, но точка Д принадлежит прямой m, где m произвольная прямая, значит прямая АА1 перпендикулярна плоскости α, что и требовалось доказать.