Плоскости в пространстве

Решение.

Используя формулу (1), получим

или .

Равенство нулю второй дроби означает, что прямая принадлежит плоскости у = – 3.

Лекция 4

Контрольные вопросы:

1. Общее уравнение плоскости.

2. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

3. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному вектору.

4. Уравнение плоскости в отрезках.

5. Нормальное уравнение плоскости.

6. Угол между двумя плоскостями.

7. Условие параллельности плоскостей.

8. Условие перпендикулярности плоскостей.

9. Расстояние от точки до прямой.

1. Общее уравнение плоскости Р имеет вид

, (1)

где – нормальный вектор плоскости (рис. 1).

Рис.1

Частные случаи общего уравнения плоскости:

1.Если , то оно принимает вид Ax+By+Cz=0. Этому уравнению удовлетворяет точка О(0;0;0). Следовательно, в этом случае плоскость проходит через начало координат.

2.Если C=0, то имеем уравнение Ax+By+D=0. Нормальный вектор перпендикулярен оси Oz. Следовательно, плоскость параллельна Oz; если В=0 – параллельна оси Oy, если A=0 – параллельна оси Ox.

3.Если C=D=0, то плоскость проходит через O(0;0;0) параллельно оси Oz, т.е. плоскость Ax+By=0 проходит через ось Oz. Аналогично, уравнениям By+Cz=0 и Ax+Cz=0 отвечают плоскости, проходящие соответственно через оси Ox и Oy.

4.Если A=B=0, то уравнение (14) принимает вид Cz +D=0, т.е. . Плоскость параллельна плоскости Oxy. Аналогично, уравнениям Ax+D=0 и By+D=0 отвечают плоскости, соответственно параллельные плоскостям Oyz и Oxz.

5.Если A=B=D=0, то уравнение () примет вид Cz=0, т.е. z=0. Это уравнение плоскости Oxy. Аналогично: y=0 – уравнение плоскости Oxz; x=0 – уравнение плоскости Oyx.

2. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки и имеет вид

. (2)

3. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно данному вектору. Если в пространстве Oxyz плоскость Р задана точкой и вектором , перпендикулярным этой плоскости (рис. 2), то уравнение плоскости имеет вид

. (3)

Рис. 2

4. Уравнение плоскости в отрезках. Если плоскость отсекает на осях Ох, Оу, Oz соответственно отрезки a, b, c (рис. 3), т.е. проходит через точки и, то уравнение плоскости имеет вид

. (4)

Рис. 3

Замечание. Уравнением (4) удобно пользоваться при построении плоскостей.

5. Нормальное уравнение плоскости. Положение плоскости Р определяется заданием единичного вектора , имеющего направление перпендикуляра ОК, проведенного на плоскость из начала координат, и длиной р этого перпендикуляра (рис. 4).

Рис. 4

Если α, β, γ – это углы, образованные единичным вектором с осями Ох, Оу, Oz соответственно, то уравнение плоскости имеет вид

. (5)

Замечание. Общее уравнение плоскости (1) можно привести к нормальному уравнению (15), умножив обе части уравнения (1) на нормирующий множитель , учитывая, что знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена D общего уравнения плоскости.

6. Угол между двумя плоскостями, имеющими нормальные векторы и (рис. 5), определяется как угол между и ; косинус этого угла находится по формуле

или

. (6)

Рис. 5

Пример 3. Найти угол между плоскостью Р₁, проходящей через точки А₁(2; -4; 1), А₂(-1; 2; 0), А₃(0; -2; 3), и плоскостью Р₂, заданной уравнением .