2015-10-22
250
Если 
и 
дифференцируемые функции, то справедлива формула 
которая называется «формулой интегрирования по частям».
Типичные интегралы, которые вычисляются по этой формуле, следующие.
1. 
и 
, где 
многочлен степени n. Целесообразно положить 
оставшуюся часть принять за 
.
Пример 1. Найти интеграл 
Решение. 
Пример 2. Найти интеграл 
Решение. 
Из этих примеров видно, что интегрирование по частям можно применять несколько раз.
2. 
; 
и т.п.
Здесь полагаем 
(или 
, или 
).
Пример 3. Найти интеграл 
Решение. 
Метод подстановки
Справедливо равенство 
, где 
–дифференцируемая функция. После вычислений интеграла надо сделать обратную подстановку 
. Конечно, этим методом целесообразно пользоваться, если после подстановки интеграл упрощается.
Пример 1. Найти интеграл 
Решение.
Выбор подстановки требует определенного опыта и искусства, но для некоторых классов функций можно дать рекомендации.
1.Интегрирование линейных иррациональностей
где R – рациональная функция своих аргументов. Интеграл сводится к интегрированию рациональной дроби подстановкой 
где 
Пример 2. Найти интеграл 
Решение. 
2. Интегрирование квадратичных иррациональностей. Тригонометрические подстановки
Интегралы вида 
, 
, 
приводятся к интегралам от рациональной функции относительно 
с помощью надлежащей тригонометрической подстановки: для первого интеграла 
, для второго 
и для третьего 
.
Пример 3. Найти интеграл 
Решение. 
Пример 4. Найти интеграл 
Решение. 
.
3. Универсальная тригонометрическая подстановка 
Под интегралом имеем рациональное выражение относительно 
и 
. Такие интегралы приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки 
. В этом случае: 
Пример 5. Найти интеграл 
Решение. 
