Нахождение изображений функций

1. Основные определения. Пусть функция обладает следующими свойствами:

1⁰. при .

2⁰. при , где и s₀-некоторые действительные постоянные.

3⁰. На любом конечном отрезке положительной полуоси Ot функция удовлетворяет условиями Дирихле, т.е.: а) ограничена; б) либо непрерывна, либо имеет лишь конечное число точек разрыва I рода; в) имеет конечное число экстремумов.

Такие функции в операционном исчислении называются изображаемыми по Лапласу, или оригиналами.

Пусть - комплексный параметр, причем Re .

При сформулированных условиях интеграл сходится и является функцией от p:

Этот интеграл называется интегралом Лапласа, а определяемая им функция комплексного аргумента p называется преобразованием Лапласа от функции , или лапласовым изображением , или просто изображением .

Тот факт, что функция является изображением оригинала , обозначают следующими символами:

, или .

Уславливаются за значение оригинала во всякой его точке разрыва I рода принимать полусумму его предельных значений слева и справа от этой точки:

при ;

при .

При соблюдении этого условия соответствие между оригиналами и изображениями обладает следующими свойствами:

это соответствие взаимно однозначно (т.е. всякому оригиналу соответствует единственное изображение и обратно),

любой линейной комбинации конечного множества оригиналов в качестве изображения отвечает соответствующая линейная комбинация их изображений.

Таким образом, если (k = 1, 2, …, n), то

2. Нахождение изображений функций. В таблице и в каждом из приведенных ниже примеров указывается только значение при (всегда имеется в виду, что , если ).