Формулы преобразования координат

При изменении системы координат будут меняться координаты точек. Как будет происходить это изменение?

Перейдем от репера к реперу , где известны координаты точки относительно репера и координаты векторов и в базисе : .

Здесь , так как векторы и образуют базис.

Для произвольной точки плоскости имеем координаты относительно репера – старые координаты, и координаты относительно репера – новые координаты. Выразим старые координаты точки через её новые координаты. Имеем

. (1)

( – радиус-вектор точки в репере ).

( – радиус-вектор точки в репере ).

Учитывая это и разложение векторов и по векторам базиса , из (1) получим формулы преобразования координат при замене аффинного репера:

(*).

Если при замене репера меняется только начало системы координат, то есть , то и формулы (*) принимают вид:

– формулы преобразования координат при переносе начала системы координат.

Произвольную замену репера можно осуществлять в два этапа: перенос начала системы координат и замена координатных векторов.

Особо рассмотрим преобразование прямоугольной системы координат.

Пусть реперы и ориентированы одинаково. Отложив векторы и от точки , найдем координаты этих векторов в базисе .

Имеем , , где .

Формулы (*) примут вид

(**).

Из них, в частности, получим формулы преобразования координат при повороте осей прямоугольной системы координат на угол :

Проведя аналогичные рассуждения в случае противоположно ориентированных реперов и , получим формулы

(***).

Формулы (**) и (***) можно записать в общем виде

,

где .