Уравнение прямой на плоскости

Через данную точку проходит единственная прямая , параллельная данному ненулевому вектору . Вектор , как и любой другой ненулевой вектор, параллельный прямой , называется направляющим вектором прямой.

Итак, всякая прямая однозначно определяется точкой и направляющим вектором.

Пусть на плоскости задан аффинный репер и , . Точка принадлежит прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны, то есть отличаются друг от друга числовым множителем: . Переходя к координатам, найдем уравнения, которым должны удовлетворять координаты точки, принадлежащей прямой:

– параметрические уравнения прямой.

Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны. Имеем

– каноническое уравнение прямой.

Через данную точку проходит единственная прямая , перпендикулярная данному ненулевому вектору . Вектор , как и любой другой ненулевой вектор, перпендикулярный прямой , называется нормальным вектором прямой.

Итак, всякая прямая на плоскости однозначно определяется точкой и нормальным вектором.

Точка принадлежит прямой тогда и только тогда, когда векторы и ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю. Чтобы использовать координаты векторов, необходим ортонормированный базис, а значит, на плоскости должна быть задана прямоугольная система координат . Пусть , . Выразив условие ортогональности векторов и через координаты, получим уравнение прямой :

.

Выводы:

1. Чтобы составить уравнение прямой, надо знать точку и направляющий вектор, либо точку и нормальный вектор.

2. Уравнение прямой приводится к виду , где , – общее уравнение прямой, то есть прямая является алгебраической линией первого порядка.

Т е о р е м а. Любая алгебраическая линия первого порядка является прямой.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для алгебраической линии первого порядка существует аффинная система координат, относительно которой линия задается уравнением , где . Пусть . Приведя уравнение линии к виду, напоминающему каноническое уравнение прямой , найдем точку и направляющий вектор прямой, которая совпадает с данной алгебраической линией.

Вектор не коллинеарен вектору (в противном случае будем иметь ). Если система координат прямоугольная , то будем иметь , то есть вектор ортогонален направляющему вектору прямой, а значит, является нормальным вектором прямой.

Таким образом, имеем геометрический смысл коэффициентов в общем уравнении прямой: – координаты направляющего вектора, а если система координат прямоугольная, то – координаты нормального вектора прямой.