Линейные операции над матрицами

1. Умножение матрицы на число. Чтобы умножить матрицу на число, нужно все элементы матрицы умножить на это число.

2. Сложение и вычитание матриц. Эти операции определяются только для матриц одинаковой размерности.

Суммой (разностью) матриц и , обозначаемой () называется матрица , элементы которой ().

Например. Найти линейную операцию ,

если , .

Итак, согласно первому и второму пунктам:

3. Умножение матриц. Эта операция не относиться к линейной.

Произведением матриц и называется матрица (проще записывается ), элементы которой

,

где , - элементы матриц и - соответственно.

Отсюда следует, что произведение существует только в случае, когда первый множитель имеет число столбцов равное числу строк второго множителя .

Далее, число строк матрицы равно числу строк , а число столбцов – числу столбцов .

Из существования произведения не следует существования произведения . Как правило, . Если , то матрицы и называются перестановочными (или коммутирующими). Известно, что всегда .

Например. Даны матрицы и . Найти и .

( выполняется, так как число столбцов равно числу строк )

( выполняется, так как число столбцов равно числу строк )