Множення матриці на матрицю

Означення. Добутком матриці А порядку m ´ s на матрицю B порядку s ´ n називають таку матрицю С порядку m ´ n, кожен елемент якої () дорівнює сумі добутків елементів i -го рядка матриці А на відповідні елементи j -го стовпця матриці В, тобто

.

Як бачимо, множення матриць можливе, якщо кількість стовпців першої матриці дорівнює кількості рядків другої матриці.

Властивості:

1) Якщо АВ та ВА мають сенс, то в загальному випадку . Коли АВ = ВА, то матриці А і В називаються

переставними. Зокрема, якщо та є діагональні матриці n -го порядку, то — діагональна матриця.

2) Якщо А та В квадратні матриці однакового порядку, то det (AB) = detA detB.

3) , якщо А має порядок m ´ n.

4) — нульова матриця.

5) АВС = A (BC)= (АВ) С — асоціативність.

6) .

7) A (B+C) = AB+AC.

(якщо вказані добутки мають сенс).

Вправи. Перемножити дані матриці:

1) = , = .

Вiдповiдь: .

2) А = , В = .

Вiдповiдь: АВ ¹ ВА.

3) А = , В = .

Вiдповiдь: АВ ¹ ВА.

4) А = , В = .

Вiдповiдь: АВ існує, ВА не має змісту.

5) . Вiдповiдь: .