Основні операції над матрицями

Якщо головний детермінант системи не дорівнює нулю, то вона має єдиний розв’язок

.

Схема доведення теореми.

Для знаходження невідомого помножимо перше рівняння системи (3.1) на алгебраїчне доповнення , друге — на ,..., n -те — на і складемо одержані добутки, потім згрупуємо подібні доданки відносно невідомих , застосуємо властивості детермінантів 9 та 10 і одержимо .

Аналогічно одержуємо , , ..., .

Одержані формули називають формулами Крамера. Ними користуються, коли D ¹0. Тоді система має єдиний розв’язок

Зауваження.

Коли а принаймні один із допоміжних детермінантів не дорівнює нулеві, то система несумісна.

Коли ж то система може мати безліч розв’язків або бути несумісною. Наприклад, система

- несумісна ,

а система

має безліч розв’язків .

Приклад. Розв'язати систему за формулами Крамера.

Знайдемо головний детермінант системи

Знайдемо допоміжні детермінанти системи

Тоді

Вправи. Розв'язати системи за формулами Крамера:

1)

Відповідь:

2)

Відповідь:

3)

Відповідь: Система несумісна.

4)

Відповідь: Система має безліч розв’язків.

5)

Відповідь:

Основні операції над матрицями

Та їх властивості