Аналитический метод определения перемещений в балках при изгибе. Дифференциальное уравнение упругой линии. Вычисление прогибов и углов поворотов сечений.

Изгиб – такой вид нагружения, при котором в попереч. сечениях балки возникают изгибающие моменты. Под действием попереч.нагрузок ось балки искривляется. Упругая линия – изогнутая ось балки. Допущ: перемещения точек тела при упругих деформациях незначительны. Кривизна оси балки: 1/ρ=-М_х/EI_x, где Е – модуль упругости I рода, Y - перемещение сечения балки, J_х=bh³/12 - осевой момент инерции сечения балки относительно оси х, М – изгиб. момент в сечении. В системе координат: 1/ρ=d²y/dx². Дифф.ур. упругой линии балки: d²y/dx²=-М_х/EI_x. Интегрируя, получаем угол поворота заданного сечения: θ=dy/dx=∫[(M_xdx/EI_x)+C], прогиб: ν=∫∫[(M_xdx/EI_x)+Cx+D]. Преимущество аналитич. метода - ↑ точность расчетов, недостаток – сложность и громоздкость.

18. Потенциальная энергия бруса в общем случае нагружения.

Потенц. энергия элемента может рассм-ся как сумма независ.работ каж.из 6 силовых факторов, т.е. как сумма энергий кручения, изгиба, растяжения и сдвига: dU=dU(Mk)+dU(Mx)+dU(My)+dU(N)+dU(Qx)+dU(Qy). Это выполняется при опред. условиях, что точка приведения сил совп. с центром тяжести сечения, оси X, Y д.б. главными. dU(Mk)=M_k²dz/(2GI_k), dU(Mx)= M_x²dz/(2EI_x), dU(My)= M_y²dz/(2EI_y), dU(N)=N²dz/(2EF), dU(Qx)=k_xQ_x²dz/(2GF), dU(Qy)= k_yQ_y²dz/(2GF), где k_x, k_y – безразмер. вел-ны, завис. от геометрич. формы сечения (для прямоуг. сечения k=k_x=k_y=1,2; сплошного круглого сечения k=10/9, тонкостен. кругового профиля k=2 и т.д.). Чтобы получить потенц. энергию всего стержня, надо проинтегрировать выражение dU по длине l.