double arrow

Статистическая физика

2.1. Статистическое описание макросистем. Свойства функции
распределения: условие нормировки, правило нахождения средних
значений

Для изучения систем многих частиц информация должна иметь обобщённый характер и относиться не к отдельным частицам, а к совокупности большого числа частиц. Соответствующие понятия также должны относиться не к отдельным частицам, а к большим совокупностям частиц. Новая форма информации и новые понятия требуют иного метода рассмотрения. Этот метод называется статистическим. Законы поведения совокупностей большого числа частиц, исследуемых статистическим методом, называются статистическими закономерностями. Статистические методы в физике имеют более широкое применение, чем динамические. Это связано с тем, что динамический метод эффективен только в применении к системам с небольшим числом степеней свободы. Большинство систем имеют громадное количество степеней свободы и могут изучаться лишь статистическими методами. Кроме того, квантомеханические закономерности по своей природе являются статистическими. Поэтому статистические методы используются так же и при изучении систем с небольшим числом степеней свободы, если в поведении этих систем существенны квантомеханические эффекты.

Рассмотрим математические понятия, которые понадобятся при изучении статистического метода. Пусть некоторая макроскопическая система находится в заданном состоянии. Предположим, что какая-то характерная для системы величина x может иметь дискретные значения:

x 1, x 2, x 3, …, x i, …, x k, …, x s.

Осуществим над системой очень большое число N измерений величины x, приводя систему перед каждым измерением в одно и то же состояние. Вместо того чтобы производить повторные измерения над одной и той же системой, можно взять N одинаковых систем, находящихся в одном и том же состоянии, и осуществить однократное измерение величины х у всех этих систем. Набор одинаковых систем, находящихся в одинаковом состоянии, называется статистическим ансамблем.

Допустим, что N 1 измерений дали результат x 1, N 2 измерений – результат x 2,…, N i измерений – результат x i и т.д.(Σ N i= N – числу систем в ансамбле.) Величина N i/ N называется относительной частотой появления результата x i, а предел этой величины, получающийся при стремлении N к бесконечности, т.е.

(2.1)

называется вероятностью появления результата x i. В дальнейшем для упрощения формул будем писать выражение для вероятности в виде N i/ N, производя предельный переход при N →∞.

Поскольку Σ N i = N, то

(2.2)

т.е. сумма вероятностей всех возможных результатов равна единице.

Зная вероятность появления различных результатов измерения, можно найти среднее значение всех результатов. По определению среднего

. (2.3)

Распространим полученные результаты на случай, когда характеризующая систему величина х может принимать непрерывный ряд значений от 0 до ∞. В этом случае говорят, что величина х имеет сплошной (непрерывный) спектр значений (в предыдущем случае спектр значений был дискретным).

Возьмём очень малую величину α (скажем α = 10-6) и найдём число измерений Δ N 0, при которых 0< x < α; Δ N 1, при которых α< x <2α,…; Δ Nx, при которых результат измерений находится в интервале от х до х +α, и т.д. Вероятность того, что результат измерений окажется в интервале от 0 до α равна Δ P 0 = Δ N 0/ N, в интервале от α до 2α Δ P 1 = Δ N 1/ N, …, в интервале от х до (х +α) Δ Pх = Δ Nх / N. Начертим ось х и отложим вверх от неё полоски шириной и высотой Δ Pх /α (рис. 2.1). Полученная столбчатая диаграмма называется гистограммой. Площадь полоски, левый край которой имеет координату х, равна Δ Pх, а площадь всей гистограммы единице.

Рис.2.1 Рис.2.2

Гистограмма наглядно характеризует вероятность получения результатов измерений, заключающихся в различных интервалах ширины α. Чем меньше ширина интервала α, тем детальнее будет охарактеризовано распределение вероятностей значений величины х. В пределе при α→0 ступенчатая линия, ограничивающая гистограмму, превратится в гладкую кривую (рис.2.2). Функция ƒ (х), определяющая эту кривую, называется функцией распределения вероятностей (плотностью вероятности).

В соответствии со способом построения кривой распределения площадь столбика шириной dx (см. рис.2.2) равна вероятности того, что результат измерения окажется в пределах от х до х + dx. Обозначив эту вероятность через х, можно написать, что

(2.4)

Индекс «х» при dP указывает на то, что имеется в виду вероятность интервала, левый край которого лежит в точке с координатой х. Площадь, ограниченная кривой распределения, так же как и площадь гистограммы, равна единице. Это означает, что

(2.5)

Интегрирование производится по всему интервалу возможных значений величины х. Формула (2.5) является аналогом формулы (2.2).

Зная функцию распределения ƒ (х), можно найти среднее значение результатов измерения величины х. В случаях получается результат, равный х. Сумма таких результатов определяется выражением . Сумма всех возможных результатов равна . Разделив эту сумму на число измерений N, получим среднее значение величины х

. (2.6)

Эта формула является аналогом формулы (2.3).

Для произвольной функции φ(x) можно записать правило нахождения среднего значения

.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: