double arrow

Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах


В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Пусть областью интегрирования V является тело, ограниченное снизу поверхностью , сверху – поверхностью , причем и - непрерывные функции в замкнутой области D, являющейся проекцией тела на плоскость Oxy. Будем считать область Vправильной в направлении оси Oz: любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда для любой непрерывной в области V функции имеет место формула

,

сводящая вычисление тройного интеграла к вычислению двойного интеграла от однократного. При этом сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z при постоянных х и у в пределах изменения z. Нижней границей интеграла является ; верхней границей - . Результат вычисления этого интеграла есть функция двух переменных: х и у.

Если область D ограничена линиями x=a, x=b (a<b), и , где и – непрерывные на отрезке [a;b] функции, причем , то, переходя от двойного интеграла по области D к повторному, получаем формулу

,

по которой вычисляется тройной интеграл в декартовых координатах.

Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах.

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто применяется метод подстановки, т.е. совершается преобразование переменных.

Пусть совершена подстановка , ,

Если эти функции имеют в некоторой области пространства Ouvw непрерывные частные производные и отличный от 0 определитель

,

то справедлива формула замены переменных в тройном интеграле:

Здесь – определитель Якоби, или якобиан преобразования.

Для вычисления тройного интеграла часто используют так называемые цилиндрические координаты.

Положение точки M(x;y;z) в пространстве Oxyz можно определить заданием трех чисел r, ,z, где r – длина радиус-вектора проекции точки М на плоскость Оху, - угол, образованный этим радиус-вектором с осью Ох, z - аппликата точки М. Эти три числа (r, ,z) называются цилиндрическими координатами точки М.

Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими соотношениями:

; ;

( ; ; )

Возьмем в качестве u, v, w цилиндрические координаты r, ,z и вычислим якобиан преобразования:

Формула замены переменных принимает вид

Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к интегрированию по r, по и по z аналогично тому, как это делается в декартовых координатах.

Сферическими координатами точки М(x;y;z) пространства Oxyz называется тройка чисел , где – длина радиус-вектора точки М, - угол, образованный проекцией радиус-вектора на плоскость Оху и осью Ох,

- угол отклонения радиус-вектора от оси Oz.

Сферические координаты связаны с декартовыми координатами x,y,z соотношениями:

, , .

( ; ; )

В некоторых случаях вычисление тройного интеграла удобно производить, перейдя к сферическим координатам. Для этого нужно воспользоваться формулой замены переменных в тройном интеграле. Так как якобиан преобразования

,

то

.


Сейчас читают про: