2015-10-22
4416
В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.
Пусть областью интегрирования V является тело, ограниченное снизу поверхностью 
, сверху – поверхностью 
, причем 
и 
- непрерывные функции в замкнутой области D, являющейся проекцией тела на плоскость Oxy. Будем считать область V – правильной в направлении оси Oz: любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда для любой непрерывной в области V функции 
имеет место формула
,
сводящая вычисление тройного интеграла к вычислению двойного интеграла от однократного. При этом сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z при постоянных х и у в пределах изменения z. Нижней границей интеграла является ; верхней границей - . Результат вычисления этого интеграла есть функция двух переменных: х и у.
Если область D ограничена линиями x=a, x=b (a<b), 
и 
, где 
и 
– непрерывные на отрезке [a;b] функции, причем 
, то, переходя от двойного интеграла по области D к повторному, получаем формулу
|
|
|
,
по которой вычисляется тройной интеграл в декартовых координатах.
Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах.
При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто применяется метод подстановки, т.е. совершается преобразование переменных.
Пусть совершена подстановка 
, 
, 
Если эти функции имеют в некоторой области 
пространства Ouvw непрерывные частные производные и отличный от 0 определитель
,
то справедлива формула замены переменных в тройном интеграле:
Здесь 
– определитель Якоби, или якобиан преобразования.
Для вычисления тройного интеграла часто используют так называемые цилиндрические координаты.
Положение точки M(x;y;z) в пространстве Oxyz можно определить заданием трех чисел r, 
,z, где r – длина радиус-вектора проекции точки М на плоскость Оху, - угол, образованный этим радиус-вектором с осью Ох, z - аппликата точки М. Эти три числа (r, ,z) называются цилиндрическими координатами точки М.
Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми координатами следующими соотношениями:
; 
; 
(
; 
; 
)
Возьмем в качестве u, v, w цилиндрические координаты r, ,z и вычислим якобиан преобразования:
Формула замены переменных принимает вид
Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к интегрированию по r, по и по z аналогично тому, как это делается в декартовых координатах.
Сферическими координатами точки М(x;y;z) пространства Oxyz называется тройка чисел 
, где 
– длина радиус-вектора точки М, - угол, образованный проекцией радиус-вектора 
на плоскость Оху и осью Ох,
|
|
|
- угол отклонения радиус-вектора от оси Oz.
Сферические координаты связаны с декартовыми координатами x,y,z соотношениями:
, 
, 
.
(
; 
; 
)
В некоторых случаях вычисление тройного интеграла удобно производить, перейдя к сферическим координатам. Для этого нужно воспользоваться формулой замены переменных в тройном интеграле. Так как якобиан преобразования
,
то
.
