Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах

Пусть требуется вычислить двойной интеграл , где функция непрерывна в области D. Тогда двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью . Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений.

Положим сначала, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми х=а, х=b и кривыми и , причем функции и непрерывны и таковы, что для всех (см.рис.3).

Такая область называется правильной в направлении оси Оу: любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух точках.

Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох: х-const, где .

В сечении получим криволинейную трапецию ABCD, ограниченную линиями , где х=const, z=0, и .

Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного интеграла

Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:

С другой стороны, объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции по области D. Следовательно

Это равенство обычно записывается в виде

Формула представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах. Правую часть формулы называют двукратным интегралом от функции по области D.

При этом называется внутренним интегралом.

Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл, т.е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от a до b.

Если же область D ограничена прямыми y=c и y=d (c<d), кривыми и , причем для всех , т.е. область D – правильная в направлении оси Ох, то, рассекая тело плоскостью y=const, аналогично получим:

Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем у постоянной.