Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют метод подстановки, т.е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.

Определим преобразование независимых переменных х и у как

и

Если эти функции имеют в некоторой области плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от 0 определитель

,

а функция непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:

Функциональный определитель называется определителем Якоби или якобианом.

Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат х и у полярными координатами r и .

В качестве u и v возьмем полярные координаты r и . Они связаны с декартовыми координатами формулами и .

Правые части в этих равенствах – непрерывно дифференцируемые функции.

Якобиан преобразования определяется как

Формула замены переменных принимает вид:

,

Где – область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если область имеет вид, изображенный на рисунке

(ограничена лучами и , где , и кривыми и , где , т.е. область правильная: луч, выходящий из полюса, пересекает ее границу не более чем в двух точках), то правую часть формулы можно записать в виде

Внутренний интеграл берется при постоянном .

Тройной интеграл.

Основные понятия.

Обобщением определенного интеграла на случай функции трех переменных является так называемый тройной интеграл.

Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла.

Пусть в замкнутой области V пространства Oxyz задана непрерывная функция . Разбив область V сеткой поверхностей на n частей и выбрав в каждой из них произвольную точку , составим интегральную сумму для функции по области V.

Если предел интегральной суммы существует при неограниченном увеличении числа n таким образом, что каждая «элементарная область» стягивается в точку (т.у. диаметр области стремится к нулю, т.е. ), то его называют тройным интегралом от функции по области V и обозначают

или

Таким образом, по определению, имеем:

Здесь dv=dxdydz – элемент объема.

Теорема (существования).

Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области V, то предел интегральной суммы при и существует и не зависит ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек в них.

Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной интеграл:

1. ,

2.

3. ,если V = , а пересечение и состоит из границы, их разделяющей.

4. , если в области V функция . Если в области интегрирования , то и

5. , так как в случае любая интегральная сумма имеет вид и численно равна объему тела.

6.Оценка тройного интеграла:

,

где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции в области V.

7. Теорема о среднем значении: если функция непрерывна в замкнутой области V, то в этой области существует такая точка , что , где V – объем тела,