2015-10-22
851
Двойные и тройные интегралы
Двойной интеграл
Основные понятия и определения
Обобщением определенного интеграла в случае функции двух переменных является так называемый двойной интеграл.
Пусть в замкнутой области D плоскости Оху задана непрерывная функция 
. Разобьем область D на n «элементарных областей» 
, площади которых обозначим через 
, а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) – через 
(см.рис.1).
В каждой области 
выберем произвольную точку 
, умножим значение 
функции в этой точке на и составим сумму всех таких произведений:
Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x;y) в области D.
Рассмотрим предел интегральной суммы , когда n стремится к бесконечности таким образом, что 
. Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области D и обозначается 
(или 
)
Таким образом, двойной интеграл определяется равенством
В этом случае функция f(x;y) называется интегрируемой в области D; D – область интегрирования; x и y – переменные интегрирования.
|
|
|
Теорема (достаточное условие интегрируемости функции).
Если функция z=f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.
