Основные понятия и определения

Двойные и тройные интегралы

Двойной интеграл

Основные понятия и определения

Обобщением определенного интеграла в случае функции двух переменных является так называемый двойной интеграл.

Пусть в замкнутой области D плоскости Оху задана непрерывная функция . Разобьем область D на n «элементарных областей» , площади которых обозначим через , а диаметры (наибольшее расстояние между точками области) – через (см.рис.1).

В каждой области выберем произвольную точку , умножим значение функции в этой точке на и составим сумму всех таких произведений:

Эта сумма называется интегральной суммой функции f(x;y) в области D.

Рассмотрим предел интегральной суммы , когда n стремится к бесконечности таким образом, что . Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x;y) по области D и обозначается (или )

Таким образом, двойной интеграл определяется равенством

В этом случае функция f(x;y) называется интегрируемой в области D; D – область интегрирования; x и y – переменные интегрирования.

Теорема (достаточное условие интегрируемости функции).

Если функция z=f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.