Методы статистического описания случайных величин, процессов и полей

ББК 39.52

Т5.1

Издательство «Машиностроение», 1985 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие предназначено для студентов вузов, изучающих дисциплины «Статистическая динамика летательных аппаратов», «Оптимальное управление летательными аппаратами», «Системы управления летательных аппаратов» и близкие к ним по содержанию. Содержание первых двух дисциплин включает в себя изложение основ теории динамических систем при действии слу­чайных возмущений и теории оптимального управления детермини­рованными и стохастическими динамическими системами. Третья дисциплина в значительной степени прикладная и базируется на первых двух.

Учебное пособие содержит материал, относящийся главным об­разом к первым двум дисциплинам. Оно может быть также исполь­зовано при изучении дисциплины «Системы управления летатель­ных аппаратов», поскольку содержит ряд конкретных технических примеров применения современных статистических методов и мето­дов оптимизации для синтеза систем управления полетом.

При пользовании данным пособием читателю необходима под­готовка в объеме вузовской программы по таким дисциплинам, как «Теория автоматического управления», «Динамика полета лета­тельных аппаратов», «Основы теории вероятностей и математичес­кой статистики», «Основы теории оптимального управления».

Авторы будут признательны всем читателям, которые пришлют критические замечания по содержанию книги.

ВВЕДЕНИЕ

Проектирование современных высокоточных систем уп­равления в значительной степени связано с проблемой синтеза оп­тимальных стохастических систем. В эту проблему входят задачи, связанные с определением показателей функционирования систем в условиях случайных возмущений, т. е. с их статистическим анали­зом, задачи формирования оптимального управления такими систе­мами, а также задачи по переработке информации, доступной изме­рениям, в информацию, необходимую непосредственно для управле­ния. Следует отметить, что данной проблеме посвящено много работ. Однако основное внимание в них уделяется развитию общего тео­ретического аппарата применительно к задачам оптимизации си­стем, описываемых стохастическими дифференциальными уравне­ниями. Овладение этими методами, как правило, требует высокой математической подготовки и поэтому не всегда доступно инжене­рам, занимающимся проектированием реальных систем управле­ния.

Цель учебного пособия — систематическое изложение вопросов применения стохастической теории управления к решению задач анализа и синтеза систем управления летательными аппаратами различного назначения на уровне той математической подготовки, которая дается в технических вузах. Учитывая, что в настоящее время развитие систем управления вообще и систем управления ле­тательными аппаратами, в частности, характеризуется широким ис­пользованием цифровой вычислительной техники непосредственно в контуре управления, особое внимание в книге уделяется вопросам управления дискретными стохастическими системами.

Изложение большинства вопросов сопровождается примерами решения конкретных технических задач, связанных с анализом и синтезом систем управления летательными аппаратами.

Приводятся основные сведения из теории случайных величин, случайных процессов и случайных полей, необходимые для описа­ния и анализа стохастических систем. Рассматриваются вопросы моделирования реализаций случайных величин и процессов на ана­логовых и цифровых вычислительных машинах. Обсуждаются наи­более распространенные методы анализа точности систем управле­ния. Кратко излагаются метод переходных функций и частотный метод анализа точности линейных систем. Более подробно рассмот­рены вопросы применения метода статистической линеаризации и метода статистического моделирования для анализа точности нели­нейных систем. Значительное внимание уделено различным аспек­там практического использования методов анализа точности линей­ных и нелинейных систем, основанных на использовании теории мар­ковских процессов. Изложение рассматриваемых методов сопровождается примерами решения различных задач анализа точ­ности движения летательных аппаратов, таких, как движение в тур­булентной атмосфере, сближение космических аппаратов на орбите, самонаведение крылатого аппарата, баллистический спуск в атмос­фере и другие.

Рассматриваются задачи оптимизации стохастических систем управления. В качестве основного объекта исследования принимает­ся дискретная динамическая система. Исследуются задачи програм­мирования и синтеза оптимального стохастического управления. В первом случае предполагается, что текущая информация о состоя­нии объекта управления отсутствует. Во втором случае считается, что сигнал управления в каждый момент времени формируется на основе информации, полученной измерениями текущего состояния объекта. При этом различаются две ситуации: управление при пол­ной информации, когда считается, что текущее состояние объекта измеряется точно и полностью, и управление при неполной инфор­мации, когда измерительная информация не позволяет точно опре­делить текущее состояние объекта. Формулируются необходимые условия оптимальности, обсуждаются особенности применения чис­ленных методов математического программирования. Формулиру­ются достаточные условия оптимальности. Предлагается метод ре­шения задач при изопериметрических ограничениях. Обсуждаются различные приближенные методы синтеза оптимального управле­ния, основанные на обычной и статистической линеаризации, а так­же метод параметров и комбинированный метод. Приводятся примеры решения конкретных технических задач с использованием этих методов. Такими задачами являются задачи формирования алгоритмов управления при переводе стационарного спутника Земли на заданную долготу с помощью двигательной установки большой и малой тяги, при коррекции траектории движения космического аппарата.

Задача синтеза оптимального управления стохастическим объек­том при неполной информации рассматривается в байесовской по­становке с использованием метода динамического программирова­ния и понятия достаточных координат. Структура синтезируемой оптимальной системы представляется двумя последовательно соеди­ненными блоками: обработки информации и оптимального управле­ния. Для линейных моделей объекта управления, измерений и гаус-совских возмущений при квадратичном критерии оптимальности решение задачи синтеза обоих блоков осуществляется в явном виде. Для общего случая нелинейных моделей объекта управления и из­мерений предлагается синтезировать блок обработки информации, используя рекуррентные байесовские алгоритмы различной слож­ности.

ГЛАВА 1.

МЕТОДЫ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН, ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ

Траектория движения летательного аппарата формиру­ется под действием ряда факторов, причем многие из них — случай­ные. Например, при движении космического летательного аппарата случайными являются ошибки выведения аппарата на орбиту, воз­мущающие силы и моменты внешней среды, действующие на аппа­рат в полете, ошибки силы тяги двигателей и т. п. При наведении на цель крылатого летательного аппарата, движущегося в атмосфе­ре, к случайным факторам могут быть отнесены начальные условия его движения, параметры движения цели, ошибки координатора цели, отклонения параметров аппарата и его системы управления от номинальных значений, обусловленные технологическими погреш­ностями изготовления, ветер и вариации плотности атмосферы и другие. В результате действия приведенных здесь случайных факто­ров параметры движения летательного аппарата — положение, ско­рость, перегрузка, угол наклона траектории, промах относительно цели и другие — оказываются случайными.

Все случайные факторы, приводящие к случайным изменениям параметров движения летательного аппарата, а также сами пара­метры движения можно отнести к одной из следующих групп:

— события, которые в каждой отдельной реализации движения аппарата могут случайно произойти, а могут и не произойти;

— величины, постоянные в каждой отдельной реализации дви­жения, но меняющиеся случайно от одной реализации к другой;

— процессы, меняющиеся случайно не только от одной реализа­ции к другой, но и по времени,

— поля, меняющиеся случайно в каждой реализации в зависимо­сти не только от времени, но и других аргументов.

К случайным событиям могут быть отнесены отказы аппарату­ры управления летательного аппарата при старте или в процессе его движения. Случайными величинами являются ошибки выведе­ния космического летательного аппарата, начальные условия движе­ния летательного аппарата, отклонения параметров аппарата и его системы управления от номинальных значений, промах летательного аппарата относительно цели. Примерами случайных процессов яв­ляются возмущающие силы и моменты, действующие на космиче­ский аппарат, ошибки координатора цели, используемого при наве­дении крылатого летательного аппарата на цель, а также парамет­ры движения (фазовые координаты) летательных аппаратов. Наконец, случайным полем является турбулентность атмосферы, в которой происходит движение летательного аппарата.

Чтобы изучать движение летательных аппаратов при действии разнообразных случайных факторов и наилучшим образом управ­лять этим движением, необходимо уметь описывать эти факторы. В данной главе кратко рассматриваются методы статистического описания случайных величин, процессов и полей применительно к случайным факторам, характерным для управляемого движения ле­тательных аппаратов. Более подробно рассмотренные здесь вопросы изложены в книгах [8, 13, 25, 30, 32, 33].

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Величина х, принимающая в каждом новом опыте при фиксированных условиях опыта новое значение хⁱ, где i — номер опыта, называется случайной. Значения хⁱ, i= 1,2,..., случайной ве­личины х, которые они принимают в отдельных опытах, называют реализациями случайной величины. Например, масса автоматиче­ского летательного аппарата в момент старта — случайная величи­на, изменения которой применительно к отдельным экземплярам (реализациям) аппарата обусловлены технологическими погрешно­стями его изготовления и подготовки к старту.