double arrow

Нормальное распределение

Конкретный вид распределения случайной величины х зависит от физической природы явления. Особое место среди всевозможных распределений занимает распределение Гаусса или нормальное распределение, поскольку именно такими или близки­ми к нормальному являются распределения многих случайных ве­личин, рассматриваемых при анализе движения автоматических летательных аппаратов.

Нормальная плотность вероятности р г (x) скалярной случайной величины х описывается выражением

Она полностью характеризуется двумя параметрами: тх и Dx. Пользуясь соотношениями (1.12) и (1.14), можно убедиться в том, что параметр тх нормальной плотности вероятности есть математи­ческое ожидание, a Dx дисперсия этой случайной величины.

В соответствии с формулой (1.2) вероятность попадания гауссовской случайной величины х в интервал равна

После замены переменной х на вычисление интеграла в формуле (1.18) сводится к вычислению соотношения

Значения функции Лапласа Ф(х), определяемой соотношением (1.20), приведены в приложении 1. При проведении расчетов на ЦВМ их можно рассчитать с помощью стандартной подпрограммы.

При преобразованиях выражений, содержащих функцию Лапла­са Ф(х), можно пользоваться следующими свойствами этой функ­ции:

Нормальное распределение вероятностей n-мерного случайного век­тора х описывается формулой

где тх — вектор математических ожиданий; Кх — корреляционная матрица; - определитель корреляционной матрицы.

В евклидовом n-мерном пространстве, координатами которого являются составляющие вектора х, плотность вероятности р г (х) постоянна на концентрических гиперэллипсоидах:

называемых гиперэллипсоидами рассеивания, где С — любое поло­жительное число. Центром гиперэллипсоидов рассеивания является точка с координатами тх, направление главных осей совпадает с собственными векторами корреляционной матрицы Кх, а длина каждой из главных полуосей равна , где — собствен­ное значение корреляционной матрицы Кх, соответствующее собст­венному вектору bi.

В двумерном случае нормальное распределение (1.22) принима­ет вид

(1.23)

Плотность вероятности (1.23) постоянна на эллипсах, называе­мых эллипсами рассеивания. Угол между главной осью эллипса рас­сеивания и осью Ox1 определяется с помощью выражения [8]

Если составляющие х1 и х2 вектора х некоррелированы, то на­правления главных осей эллипса рассеивания совпадают с направ­лениями осей системы координат Ох1х2.

На практике принято строить эллипсы рассеивания, главные по­луоси которых равны где — С КО соответствующей компо­ненты; К — целое число.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: