2015-10-22
1631
К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.
Определение: Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:
n
М(Х) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
i=1
Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.
Свойства математического ожидания:
1)M(C)=C, где С-постоянная величина;
2)М(С•Х)=С•М(Х),
3)М(Х±Y)=М(Х) ±M(Y);
4)M(X•Y)=M(X) •M(Y), где X,Y- независимые случайные величины;
5)M(X±C)=M(X)±C, где С-постоянная величина;
Для характеристики степени рассеивания возможных значений дискретной случайной величины вокруг ее среднего значения служит дисперсия.
Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(X)=M(X-M(X))2
Свойства дисперсии:
1)D(C)=0, где С-постоянная величина;
2)D(X)>0, где Х- случайная величина;
3)D(C•X)=C2•D(X), где С-постоянная величина;
|
|
|
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), где X,Y- независимые случайные величины;
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
n
где М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
i=1
Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину √D(X).
Определение: Средним квадратическим отклонением σ(Х) случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии:
Определение: Непрерывной называют величину, все возможные значения которой полностью заполняют конечный или бесконечный промежуток числовой оси.
Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.
Непрерывную случайную величину можно задавать с помощью функции распределения.
Определение: Ф ункцией распределения непрерывной случайной величины Х называется функция F(х), определяющая для каждого значения х 
R вероятность того, что случайная величины Х в результате испытания примет значение, меньшее х:
F(x)=P(X<x),где х R
Функцию распределения иногда называют интегральной функцией распределения.
Свойства функции распределения:
1)1≤ F(x) ≤1
2)У непрерывной случайной величины функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.
3) Вероятность попадания случайной величины Х в один из промежутков (а;b), [а;b), [а;b], равна разности значений функции F(х) в точках а и b,т.е. Р(а<Х<b)= F(b)- F(a)
4)Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно отдельное значение равна 0.
|
|
|
5) F(-∞)=0, F(+∞)=1
Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Введем понятие плотности распределения вероятностей (плотность распределения).
Определение: Плотностью распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной величины Х называется производная от ее функции распределения, т.е.:
f(x)=F’(x)
Плотность распределения вероятностей иногда называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения.
Графикплотности распределения вероятностей f(x) называется кривой распределения вероятностей.
Свойства плотности распределения вероятностей:
1)f(x) ≥0,при х R
х
2) F(x)= ∫ f(x)dx
-∞
Геометрически функция распределения равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения снизу осью ОХ и лежащей левее точки х (рис.1)
b
3) Р(а<Х<b)= ∫ f(x)dx
a
Геометрически полученная вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой распределения, снизу осью ОХ, слева и справа прямыми х=а, х=b (рис. 2)
-∞
4) ∫ f(x) dx=1-условие нормировки
+∞ 
рис.1 рис.2
Понятие математического ожидания М (Х) и дисперсии D(X) введенные ранее дискретной случайной величины, можно распространить на непрерывные случайные величины.
Математическое ожидание М (Х) непрерывной случайной величины Х определяются равенством:
+∞
M(X)= ∫ x•f(x)dx,
-∞
при условии, что этот интеграл сходится абсолютно.
Дисперсия D(X) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:
+∞
D(X)= ∫ (х-М(х)2)•f(x)dx, или
-∞
+∞
D(X)= ∫ х2•f(x)dx- (М(х))2
-∞
Среднее квадратическое отклонение σ(Х) непрерывной случайной величины определяется равенством:
Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные ранее для дисперсных случайных величин, справедливы и для непрерывных.
