double arrow

Метод прямоугольников

Для получения формулы прямоугольников интервал интегрирования [ a, b ] разбивается на n подынтервалов равной длины (шагов) точками: x 0 = a, x 1, x 2, …, xi, xi +1, …, xn = b так, что

xi +1 - xi = h = , i = 1, 2, …, n. (2)

На этих подынтервалах строятся прямоугольники, высота их определяется значением функции f (x) в какой либо точке подынтервала.

Если f (xi) определяется для левой границы каждого подынтервала (рис. 2.1), то формула прямоугольников имеет следующий вид:

I1 = (3)

и называется формулой левых прямоугольников.

Если f (xi) определяется для правой границы каждого подынтервала (рис. 2), то

I2 = (4)

и называется формулой правых прямоугольников.

Рис. 1 Рис. 2

Если функция монотонна на отрезке [ a, b ], то в одном случае получается значение интеграла I с недостатком I1, а в другом – с избытком I2. Более точное значение I получают при усреднении величин:

I = . (5)

Если f (xi) определяется для середины каждого подынтервала, то формула прямоугольников имеет следующий вид:

I3 = (6)

и называется формулой средних прямоугольников.

Точность интегрирования для этих методов приближенно равняется ε ≈ h.

Пример.

С помощью формул левых, правых и средних прямоугольников вычислить , если h = 0,2.

Точное решение:

?Вычисление интеграла методом прямоугольников выполним в таблице Excel (рис. 3, 3- a).

Значения интервала интегрирования [0, 1] соответственно поместить в ячейки B3 и F3. Интервал интегрирования разобьем на 5 подынтервалов (n = 5). Введем значение n в ячейку В2. Шаг интегрирования вычислим в ячейке F2 по формуле

h = h = .

Рис. 3 (Режим решения)

Режим показа формул

Рис. 3 - а

I) Для приближенного вычисления интеграла по формуле левых прямоугольников (3) требуется вычислить значения функции f (x) = 3 x 2 - 4 x в точках (2):

x 0 = a= 0;

x 1= x 0 + h= 0+0,2 =0,2;

x 2 = x 1 + h = 0,2 + 0,2 = 0,4;

x 3 = x 2+ h = 0,4 + 0,2 = 0,6;

x 4 = x3+h = 0,6 + 0,2 = 0,8.

Вычисление значений x 0, x 1, x 2, x 3, x 4, представлено в блоке ячеек B6:B10, а соответствующие им значения функции – в блоке ячеек С6:С10.

Затем следует вычислить их сумму (в ячейке С11) и полученное значение умножить на шаг интегрирования h (в ячейке С12):

∑ = 0-0,68–1,12–1,32-1,28 = -4,4   I = 0,2? (-0,44) = -0,88.

I =.

II) Для приближенного вычисления интеграла по формуле правых прямоугольников (4) требуется вычислить значения функции f (x) = 3 x 2 - 4 x в точках:

x 1= x 0 + h= 0 + 0,2 = 0,2;

x 2 = x 1 + h = 0,2 + 0,2 = 0,4;

x 3 = x 2+ h = 0,4 + 0,2 = 0,6;

x 4 = x 3 +h = 0,6 + 0,2 = 0,8.

x 5 = x 4 +h = 0,8 + 0,2 = 1,0.

Вычисление значений x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 представлено в блоке ячеек Е6:Е10, а соответствующие им значения функции – в блоке ячеек F6:F10.

Затем следует вычислить их сумму (в ячейке F11) и полученное значение умножить на шаг интегрирования h (в ячейке F12):

Приближенное значение интеграла, вычисленное по формуле левых прямоугольников равно -0,88, а по формуле правых прямоугольников равно -1,08.

Их среднее значение ближе к точному, равному -1.

III) Для приближенного вычисления интеграла по формуле средних прямоугольников (5) требуется вычислить значения функции f (x) = 3 x 2 - 4 x в точках:

(xi -1+ x i)/2 (блок ячеек G6:H12), их сумму (ячейка H11), полученное значение умножить на шаг интегрирования h (ячейка H12).

Разбивая интервал интегрирования на большее число отрезков, например, на 10, можно получить более точное решение (рис. 4).?

Рис. 4

 

Метод трапеций

Для получения формулы трапеций интервал интегрирования [ a, b ] разбивается на n подынтервалов равной длины (шагов) точками: x 0 = a, x 1, x 2, …, xi, xi +1, …, xn = b так, что

xi +1 - xi = h = , i = 1, 2, …, n.

На каждом отрезке (xi, xi +1) дугу Xi Xi +1 графика подынтегральной функции y = f (x) заменяют стягивающей ее хордой (рис. 2.5) и вычисляют площади трапеций xiXi Xi +1 xi +1, высота которых равна h, а основания определяются значением функции f (xi), f (xi+1).

Рис. 2.5

Так как площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту, интеграл приближенно равен сумме площадей всех полученных трапеций:

=

= =

= [ f (x 0) + 2 f (x 1) + 2 f (x 2)+…+ + 2 f (xn- 1) + f (xn)]=

= [ f (xa) + 2 f (x 1) + 2 f (x 2)+…+ + 2 f (xn- 1) + f (xb)]=

= [ f (xa) + f (xb) + ]. (7)

Таким образом, формула трапеций имеет вид:

I = . (8)

Точность интегрирования для этого метода приближенно равняется ε ≈ h2.

Пример (продолжение).?Пользуясь формулой трапеций, вычислить при h = 0,2.

Решение. Вычисление интеграла методом трапеций (8) выполним в таблице Excel (рис. 6, 6- а).

Режим решения

Рис. 6

∑ = -0,68 -1,12 -1,32 -1,28 = -4,4 I = 0,1·[(0-1)-2·4,4] = -0,98

Режим показа формул

Рис. 6 - а

Разбивая интервал интегрирования на большее число отрезков, например, на 10, можно получить более точное решение (рис. 7).

Рис. 7

∑ = -0,37 -0,68 -0,93 -1,12 -1,25 -1,32 -1,33 -1,28 -1,17 = -9,45   I = 0,05? [(0 -1) + 2?(-9,45) = -1,00?

 


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: