Решить дифференциальное уравнение y ' = f (x, y) численным методом –значит для заданной последовательности аргументов x 0, x 1, …, xn и числа y 0, не определяя функцию y = F (x), найти такие значения у 1, у 2, …, yn, что yi = F (xi) (i = 1, 2, …, n) и F (x 0) = y 0. Другими словами, численные методы позволяют вместо нахождения функции y = F (x), получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h = xk – xk -1 называется шагом интегрирования.
Для решения данной задачи используются различные численные методы, среди которых наиболее простым является метод Эйлера.
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка
y ' = f (x, y) (1)
с начальными условиями
x = x 0, у (x 0) = y 0.
Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [ a, b ].
Разобьем отрезок [ a, b ] на n равных частей и получим последовательность x 0, x 1, …, xn, где xi = x 0 + i·h (i = 1, 2, …, n), а h = (b – a)/ n – шаг сетки. Величина h = ∆ xm = xm+1 - xi обычно выбирается постоянной и достаточно малой. При численном решении задачи вычисляются приближенные значения yi (xi) ≈ yi в узлах сетки xi (i = 1, 2, …, n).
|
|
Идея метода состоит в том, что при малом шаге сетки h производная искомой функции y' (xi)может быть приближенно заменена конечными разностями
(2)
где yi – значение функции в узле xi.
Тогда y '(xi)∙ h = yi+1 - yi, отсюда yi+1 = yi+ y '(xi)∙ h, а, так как y '(xi) = f (xi, yi), то
yi +1 = yi + h·f (xi, yi). (3)
Т.е. на каждом отрезке [ xi, xi+1 ] выражение (1) можно заменить приближенным выражением (3).
Зная начальное значение y 0, и используя соотношение (3), можно последовательно от узла xi к узлу xi +1 определить все искомые значения yi +1.
На практике, как правило, применяют «двойной просчет». Сначала расчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h /2 и
т.д.
Для достижения требуемой точности ε численного решения необходимо выполнение условия: | y 2 n - yn | < ε.
Пример 1. ○Используя метод Эйлера, составить на отрезке [0, 1] таблицу значений решения дифференциального уравнения
с начальными условиями x 0 = 0, y 0 = 1, выбрав шаг h = 0,2.
Решение.
Результаты вычислений представим в таблице Excel (рис.1). Заполняется она следующим образом:
1) В первую строку, соответствующую значению i = 0, запишем начальные условия: x 0 = 0, y 0 = 1. По ним вычислим значение f (x 0, y 0):
а затем значение ∆ y 0. Из (2) и (1) имеем
∆ y 0 = y '(x 0)∙ ∆ x 0 = y' (x 0) ∙h = f (x 0, y 0) ∙h,
следовательно, ∆ y 0 = h∙f (x 0, y 0) = 0,2∙1 = 0,2. Отсюда по формуле (3) для i = 0 получим
y 1 = y 0 + h∙f (x 0, y 0) = y 0+ ∆ y 0 = 1 + 0,2 = 1,2.
2) Значение x 1 = x 0 + h = 0 + 0,2 = 0,2 и соответствующее ему значение y 1 =1,2 запишем во вторую строку таблицы, соответствующую i = 1.
Для x 1 = 0,2 и y 1 = 1,2 вычислим f (x 1, y 1).
|
|
Затем вычислим ∆ y 1 = h∙f (x 1, y 1) = 0,2∙0,8667 = 0,1733.
Тогда по формуле (3) для i = 1 получим
y 2 = y 1 + h∙f (x 1, y 1) = y 1+ ∆ y 1 = 1,2 + 0,1733 = 1, 3733.
3) Значения x 2 = x 1 + h = 0,2 + 0,2 = 0,4 и соответствующее ему значение y 2 =1,3733 запишем в третью строку таблицы (i = 2).
Аналогично следует выполнить вычисления для i = 2, 3, 4, 5 (см. рис. 1).●○
Режим формул
Режим решения
Рис. 1
Метод Эйлера легко распространяется на решение дифференциальных уравнений высших порядков. Для этого такое дифференциальное уравнение надо предварительно привести к дифференциальному уравнению первого порядка.
Пусть дано дифференциальное уравнение
y '' = f (x, y, y ') (4)
с начальными условиями
x = x 0, у (x 0) = y 0, у' (x 0) = y' 0.
Требуется найти решение уравнения (4) на отрезке [ a, b ].
С помощью подстановки y' = z, y'' = z' заменим уравнение (4) системой уравнений
и (5)
Таким образом, f 1(x, y, z) = z, f 2(x, y, z) = f (x, y, z) и задачу можно записать в общем виде:
и (6)
Аналогично можно свести к системе дифференциальных уравнений и уравнения более высокого порядка.
Пример 2. ○Используя метод Эйлера, составить на отрезке [1; 1,5] таблицу значений решения дифференциального уравнения
(7)
с начальными условиями y = 0,77, y ' = -0,44 и выбрав шаг h = 0,1.
Решение. С помощью подстановки y' = z, y'' = z' заменим уравнение (7) системой уравнений
y' = z,
с начальными условиями y 0(1) = 0,77 и z 0 = -0,44.
Таким образом,
f 1(x, y, z) = z, f 2(x, y, z) =
Результаты вычислений по формулам (6) запишем в таблице Excel (рис. 2). Заполняется она следующим образом:
в первую строку i = 0 запишем начальные условия: x 0 = 1,0, y 0 = 0,77, z 0 = -0,44.
Используя их, вычислим
f 1 0(x 0, y 0, z 0) = z 0 = -0,44,
f 2 0(x 0, y 0, z 0) =
а затем
∆ y 0 = h∙f 1 0 = 0,1∙(-0,44) = -0,044, y 1 = y 0 + ∆ y 1 = 0,77 + (-0,044) = 0,726,
∆ z 0 = h∙f 2 0 = 0,1∙(-0,33) = -0,033, z 1 = z 0 + ∆ z 1 = -0,44 + (-0,033) = -0,473.
Таким образом, во вторую строку таблицы, соответствующую i = 1, можно записать:
y 1 = 0,726, z 1 = -0,473.
По этим значениям можно вычислить
f 1 1(x 1, y 1, z 1) = z 1 = -0,473,
f 2 1(x 1, y 1, z 1) =
а затем
∆ y 1 = h∙f 1 1 = 0,1∙(-0,473) = -0,047, y 2 = y 1 + ∆ y 1 = 0,726 + (-0,047) = 0,679,
∆ z 1 = h∙f 2 1 = 0,1∙(-0,296) = -0,030, z 2 = z 1 + ∆ z 1 = -0,473 + (-0,030) =-0,503.
Аналогично следует выполнять вычисления для i = 2, 3, 4, 5 (см. рис. 2).●
Режим формул
Режим решения
Рис. 2