Решение уравнений Максвелла для установившегося переменного электромагнитного поля

Полагая в 1 уравнении Максвелла = 0, мы, тем самым, сужается область рассмотрения э/м полей установившимися процессами. Пусть отсутствуют объемные заряды δ и сторонние поля.

В этом случае система уравнений Максвелла имеет вид:

rot = . (22)

rot = . (23)

div = 0. (24)

div = 0. (25)

Переменные электромагнитные поля, описываемые этими уравнениями, могут быть как периодическими полями, так и апериодическими полями.

В индуктивных методах электроразведки изучаются в основном периодические поля. Переменные электромагнитные поля, с которыми чаще всего имеют дело в электроразведке, изменяются по законам, близким к законам гармонических колебаний.

Всякий периодический процесс, согласно преобразованиям Фурье, разлагается на сумму гармонических процессов, которые можно представить в виде гармонических колебаний (гармоник):

a·sin(ωt + φ) или a·cos(ωt + ψ), (26)

где а – амплитуда соответствующей гармоники, ω – круговая частота (ω = 2πf), t – время, φ и ψ – начальные фазы.

Аргументы у синуса и косинуса, т.е. (ωt + φ) и (ωt + ψ), называют фазами колебаний.

Поскольку представление гармонического колебания выражениями, содержащими синус и косинус равноценны, то обычно рассматривают выражение содержащее косинус. Вместо использования тригонометрических функций в записи колебания удобнее перейти к комплексной форме записи колебания.

Согласно формуле Эйлера:

, (27)

всякий гармонический процесс (колебание) можно записать в виде:

(28)

Вещественная часть комплексного числа Re() представляет собой гармоническое колебание, записанное в тригонометрической форме, т.е. . Поэтому показатель степени экспоненты можно выбрать с любым знаком. Для удобства возьмем минус. Тогда гармонически изменяющийся процесс представляется в виде:

, (29)

где амплитуда М₀ может быть как действительной, так и комплексной величиной.

Комплексная запись гармонического процесса позволяет пользоваться удобным символическим методом вычислений, который заключается в том, что для взятия производной n – го порядка по времени от функции достаточно эту функцию М умножить n раз на величину (-iω).

Например:

, (30)

, (31)

Учитывая вышесказанное, гармонически меняющееся электромагнитное поле можно написать в виде:

, (32)

. (33)

Тогда система уравнений Максвелла для комплексных амплитудных векторов и примет вид:

rot = + (-iω) = ( - = , (34)

rot = = , (35)

div = 0, (36)

div = 0. (37)

Чтобы от комплексных амплитудных векторов и в системе Максвелла перейти к полным выражениям величины поля, надо их умножить на множитель е^-iωt.

В системе уравнений Максвелла символами и обозначены комплексная электропроводность и комплексная индуктивность (комплексная магнитная проницаемость).

= - , (38)

= . (39)

Применим операцию div к уравнениям (34) и (35), т.е. к уравнениям: rot = и rot =

В результате, получим:

div rot = , (40)

div rot = . (41)

Воспользуемся формулами:

div = ( · ) = + + ; (42)

rot = ( - ) + ( - ) + ( - ) . (43)

В результате получим:

div rot = ( - ) + ( - ) + ( - ) = - + - + - = 0. (44)

Или запишем в виде:

div rot = = 0, (45)

div rot = = 0, (46)

Откуда следует, что = 0; = 0. (47)

Таким образом, из первого и второго уравнений системы Максвелла, получаем, соответственно, 3 и 4 уравнения той же системы.

Следовательно, достаточно найти решения уравнений системы (34) и (35), т.е.

rot = , (48)

rot = . (49)

Эти уравнения являются основными уравнениями гармонического поля в однородной среде.

Приведем уравнения (48) и (49) к форме удобной для их решения.

Для этого применив к ним вихревую дифференциальную операцию, т. е.

rot rot = , (50)

rot rot = . (51)

Подставим в правую часть уравнений (50) и (51) значения rot и rot из выражений (48) и (49).

В результате получим:

rot rot = , (52)

rot rot = , (53)

Введем обозначение: = ². Где = - волновое число.

Таким образом, получим:

rot rot = ² , (54)

rot rot = ² . (55)

Так как операция rot, дважды примененная к вектору равна:

rot rot = grad div - Δ , (56)

то выражения (54) и (55) примут вид:

rot rot = grad div - Δ , (57)

rot rot = grad div - Δ . (58)

Так как div = 0 и div = 0, то получим: (59)

rot rot = - Δ , (60)

rot rot = - Δ . (61)

После подстановки уравнений (60) и (61) в систему уравнений (54) и (55) получим волновые уравнения для магнитного и для электрического полей вида:

Δ = - ² , (62)

Δ = - ² . (63)

Оба волновые уравнения и для и для идентичны.

Волновые уравнения (62) и (63) являются векторными уравнениями.

Магнитные и электрические компоненты переменного электромагнитного поля являются компонентами единого электромагнитного поля. Они взаимно зависимы и связаны посредством основных уравнений поля:

rot = , (48)

rot = . (49)

Вместо шести уравнений достаточно решать 3 волновых уравнения для трех независимых компонент вектора напряженности магнитного поля или вектора напряженности электрического поля _.

Рассмотривается вектор напряженности магнитного поля _, который удовлетворяет волновому уравнению:

Δ = - ² (64)

Физический и геологический смысл волнового числа .

Волновое число имеет очень большое значение в индуктивных методах разведки.

Ранее определили, что ² = · , (65)

где = - - комплексная электрическая проводимость, = - комплексная индуктивность.

Тогда

² = · = ( - ) = - =

= (), (66)

Откуда = , (67)

где ω = 2πf, С – скорость света в вакууме.

Рассмотрим физический смысл величины , (68)

входящей в выражение для волнового числа (67).

Вернемся к выражению для 1-го уравнения Максвелла в основной системе уравнений Максвелла (17).

rot = + или (69)

rot = + . (70)

В случае гармонически меняющегося поля 1-ое уравнение Максвелла имеет вид:

rot = - iω = . (71)

В последнем выражении 1 слагаемое - плотность тока проводимости. Второе слагаемое должно иметь ту же размерность, что и первое, т.е. должно являться плотностью тока.

Максвелл назвал его током смещения (связанным с процессами, определяемыми диэлектрическими свойствами среды).

. (72)

Тогда выражение (71) можно записать в виде:

rot = . (73)

Итак, имеем:

, (74)

. (75)

Найдем их отношение:

, (76)

Получили второе слагаемое под квадратным корнем в выражении волнового числа (67).

Рассмотрим квадрат волнового числа:

² = ().

В этом выражении 2-ое слагаемое есть отношение токов проводимости к токам смещения.

Рассмотрим два случая.

1. Если среда имеет очень высокую проводимость, т.е. γ >> 1,

следовательно, >> 1. Тогда в выражении ² = ()

можно пренебречь 1 в скобках, в результате получим:

² = = i , (77)

приняв ω = 2πf, получим:

² = i = i . (78)

Основное значение в изучаемом электромагнитном поле будут иметь токи проводимости.

2. Если в среде γ – очень малая величина, то << 1 и с достаточной степенью точности ² = . В этом случае главную роль в изучаемом электромагнитном поле будут играть токи смещения.

В частном случае, в идеальном диэлектрике, когда γ = 0, получим точное значение:

= . (79)

В воздухе, где μ = 1, ε = 1, получим:

= . (80)

Подсчитывая значение для различных частот можно определить, в каких случаях основную роль играют токи проводимости, а в каких – токи смещения.

= = . (81)

При низких частотах (до 10⁴ герц) во всех породах преобладают токи проводимости. Лишь при частотах в миллионы герц влияние токов смещения становится заметным во всех породах.