Глава 3. Линейные операторы

Линейный оператор и его матрица

В этой главе будут изучаться отображения векторных пространств.

Вспомним, что при умножении квадратной матрицы на столбец, один вектор преобразуется в другой. Получается, что квадратная матрица задаёт некоторое отображение одних векторов в другие, то есть выступает в роли функции.

Определение. Отображение называется линейным отображением (синоним: линейный оператор) если выполнены 2 условия:

1) 2) .

Умножение квадратной матрицы на вектор удовлетворяет свойствам линейности, в силу свойств умножения матриц.

Из определения напрямую следует, что всякое линейное отображение зависит только от того, куда отображаются базисные векторы: = .

Образ вектора x в итоге зависит от координат вектора x и от образов базисных векторов, то есть линейный оператор однозначно задаётся образами базисных векторов.

Докажем ещё такое свойство: L(0)=0.

Пусть 0 вектор задан в виде . Тогда: .