Пункт 1. Вывод уравнений по точке и перпендикуляру

Прямая в R².

Допустим, дана точка с координатами и перпендикуляр (синоним: «нормаль») к прямой, вектор . Если произвольную точку с координатами взять вне этой прямой, то и не перпендикулярны, а если принадлежит прямой, то перпендикулярны, тогда их скалярное произведение 0.

На чертеже . Вектор = (из координат конца вектора вычли координаты его начала).

Тогда , откуда , обозначим через С, и получим .

Таким образом, мы заодно ещё и доказали, что координаты нормали являются коэффициентами при x,y в уравнении прямой.

Замечание. От длины нормали уравнение не зависит. Если вектор нормали умножить на , то все коэффициенты уравнения, включая константу, будут больше в раз, но тогда можно вынести число и сократить на него всё уравнение, а справа 0 так и останется 0. То есть, получим уравнение той же самой прямой, и от длины нормали ничего не зависит.

Плоскость в R³.

Уравнение плоскости по точке и перпендикуляру. Абсолютно аналогичная технология вывода уравнения применяется и для плоскости. Пусть дана точка с координатами и перпендикуляр . Сейчас мы докажем, что именно эти координаты А,В,С окажутся коэффициентами в уравнении плоскости. Рассмотрим произвольную точку , принадлежащую плоскости. Тогда вектор перпендикулярен нормали, то есть вектору .

Тогда скалярное произведение, пары векторов и равно 0. Итак, . Раскроем скобки: .

Обозначим константу . Тогда получается . Обратите внимание, что координаты нормали оказались именно коэффициентами при x,y,z.

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку (1,1,1) перпендикулярно вектору (1,2,3).

Решение. Вектор ортогонален вектору (1,2,3).

Тогда следовательно,

.

Замечание. Длина нормали не влияет на уравнение. Если бы изначально было дано, что нормаль (2,4,6) то получили бы:

, но это уравнение задаёт ту же самую плоскость. Достаточно вынести 2 за скобку, и сократить на 2, получили бы .