Основные теоремы о непрерывных функциях

Теорема 1: Если f(x) и g(x) непрерывны в точке , то - непрерывны в этой точке.

Теорема 2 (о сохранение знака): Если f(x) непрерывна в точке , то существует некоторая окрестность точки , в которой функция имеет тот же знак, что и в точке

Теорема 3 (первая теорема Больцано-Коши): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и принимает на концах значения разных знаков, то существует точка такая, что

Теорема 4 (вторая теорема Больано-Коши): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и f(a)=A, f(b)=B и A ≤ C ≤B, то существует такая точка , что f(c)=C.

Теорема 5 (первая теорема Вейерштрассе): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом орезке.

f(a)=inf f(x); f(b)=sup f(x)

Теормема 6 (вторая теорема Вейерштрассе): Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она достигает на это отрезке наименьшего значения m и наибольшего значения М.