Предел и непрерывность функции двух переменных

2.1. Предел функции

Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству , называется d-окрестностью точки . Другими словами, d-окрестность точки – это все внутренние точки круга с центром и радиусом d (рис. 2).

Рис. 2

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой этой точки. Число А называется пределом функции при (или, что то же самое, при ), если для любого существует такое, что для всех и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство Записывают:

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремиться к М₀ (число таких направлений бесконечно; для функции одной переменной по двум направлениям: справа и слева).

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем. Каково бы ни было число , найдется d-окрестность точки , что во всех её точках , отличных от , аппликаты соответствующих точек поверхности отличаются от числа А по модулю меньше, чем на e.

Пример 1. Найти предел

Решение: Будем приближаться к 0(0;0) по прямой , где k – некоторое число. Тогда

Функция в точке 0(0;0) предела не имеет, т. к. при разных значениях k предел функции не одинаков (функция имеет различные предельные значения).

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствами предела функции одной переменной. Это означает, что справедливы утверждения: если функции определены на множестве D и имеют в точке этого множества пределы А и В соответственно, то и функции имеют в точке М₀ пределы, которые соответственно равны

Непрерывность функции двух переменных

Функция (или f(M)) называется непрерывной в точке , если она: а) определена в этой точке и некоторой её окрестности;

б) имеет предел

в) этот предел равен значению функции z в точке М₀, т. е.

или

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва могут образовывать целые линии разрыва. Так, функция имеет линию разрыва

Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определение непрерывности функции в точке. Обозначим . Величины называются приращениями аргументов х и у, а – полным приращением функции в точке .

Функция называется непрерывной в точке если выполняется равенство т. е. полное приращение функции в этой очке стремится к нулю, когда приращения её аргументов х и у стремятся к нулю.

Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям – подобные теоремы имели место для функций одной переменной.

Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области

Приведем свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области (они аналогичны свойствам непрерывных на отрезке функций одной переменной). Предварительно уточним понятие области.

Областью называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связности.

Свойство открытости: каждая точка принадлежит ей вместе с некоторой окрестностью этой точки.

Свойство связности: любые две точки области можно соединить непрерывной линией, целиком лежащей в этой области.

Точка N₀ называется граничной точкой области D, если она не принадлежит D, но в любой окрестности её лежат точки этой области. Совокупность граничных точек области D называется границей D. Область D с присоединенной к ней границей называется замкнутой областью, обозначается . Область называется ограниченной, если все её точки принадлежат некоторому кругу радиуса R. В противном случае область называется неограниченной. Примером неограниченной области может служить множество точек первого координатного угла, а примером ограниченной – -окрестность точки .

Теорема. Если функция непрерывна в ограниченной замкнутой области, то она в этой области: а) ограничена, т. е. существует такое число R > 0, что для всех точек N в этой области выполняется неравенство б) имеет точки, в которых принимает наименьшее m и наибольшее M значения; в) принимает хотя бы в одной точке области любое численное значение, заключенной между m и M (дается без доказательства).