Теоремы Ферма и Ролля

Теорема Ферма. Пусть f(x) задана на открытом промежутке и достигает в своего max(min), тогда если f(x) имеет f´(x), то она равна 0. Доказательство:
Допустим точка maх; f´()= ∆f=(f( +∆x)-f())≤0 + ∆x
1)∆x 0 ∆f ˂0 следовательно ˂ 0 =f´(x) ≤ 0 2)∆x˂0 ∆f 0 следовательно 0 =f´(x) 0
Из этих условий следует, что f´(x)=0
Теорема Ролля. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех точках интервала (a;b) и на концах x=a и x=b принимает равные значения (f(a)=f(b)), то существует внутри интервала (a;b) по крайней мере одна точка x=c, a˂c˂b, в которой производная f´(х) обращается в ноль, т.е. f´(с)=0Доказательство:
Рассмотрим два случая: 1 ) Если непрерывна на , то по второй теореме Вейерштрасса. М-наиб. m-наим. M=m следовательно f(x)-const. F´(x)=0, x (a;b) 2)Если m˂M то хотя бы одно из значений функции достигает внутри промежутка. Значит это локальный экстремум. Следовательно по теореме Ферма f´(c)=0Теорема Ролля имеет наглядный физический смысл. Предположим, что тело движется вдоль прямой и через некоторый промежуток времени возвращается в исходную точку. Тогда в данном промежутке времени существует момент, в котором мгновенная скорость тела была равна нулю.