2017-10-25
836
При решении задач, связанных с теплопроводностью тел, необходимо определить температурное поле, т.е. характер изменения температуры в исследуемой области. Это может быть сделано с помощью дифференциального уравнения теплопроводности.
Вывод этого уравнения сделаем при следующих упрощающих задачу предположениях:
1) рассматриваемое тело однородно, а его физические свойства (плотность 
, удельная теплоёмкость c и коэффициент теплопроводности 
) не зависят от температуры;
2) внутренние источники теплоты отсутствуют.
|
| Рис. 1.2 |
Сначала рассмотрим тело, температурное поле в котором одномерное, т.е. температура изменяется только в одном направлении, например, вдоль координаты x (рис. 1.2).
Выделим в рассматриваемом теле элементарный параллелепипед, объём которого равен dxdydz, а грани, нормальные к оси x, являются изотермическими поверхностями. За некоторое время 
в этот параллелепипед поступает количество теплоты, равное q (x) dydzd 
, а выходит теплота в количестве, равном q (x+dx) dydzd 
. В результате за это же время температура выделенного параллелепипеда (массой dM = 
изменится на dT. В соответствии с законом сохранения энергии получим
|
|
|
,
где полная производная 
, a 
,
тогда 
.
Частные производные в этой формуле подчёркивают, что как Т, так и q могут зависеть и от 
, и от x.
Кроме того, по закону Фурье в данном случае q (x) 
. Подставляя это значение q (x) в последнее уравнение, получим дифференциальное уравнение теплопроводности для нестационарного одномерного температурного поля: c 
, или 
,
где величина a = 
(с единицей измерения м 
/с) называется коэффициентом температуропроводности.
Соответственно дифференциальное уравнение теплопроводности дляслучая нестационарного трёхмерного температурного поля будет иметь вид:
.
Из этих уравнений видно, что скорость изменения температуры 
в любой точке тела тем выше, чем больше значение а. Поэтому можно считать, что коэффициент температуропроводности является мерой теплоинерционных свойств материала тела. Коэффициент температуропроводности зависит только от физических параметров вещества (
и поэтому сам является физическим параметром данного вещества.
Чтобы получить решение полученных уравнений, соответствующее конкретной задаче, надо к этому уравнению присовокупить математическое описание частных особенностей данной задачи. Эти частные особенности называются краевыми условиями. К ним относятся: тепловое состояние тела в начальный момент времени (начальные условия), форма, размеры тела и особенности процесса теплообмена на его границах (граничные условия).
Ниже будут рассмотрены процессы стационарной теплопроводности в твёрдых телах простых форм.
|
|
|
