Числовые характеристики двумерной случайной величины

При изучении двумерных случайных величин рассматриваются числовые характеристики составляющих:

, , , , где

(6.2.1)

для дискретных составляющих X и Y и

(6.2.2)

в случае непрерывных составляющих.

Упорядоченную пару чисел называют математическим ожиданием двумерной случайной величины, а - ее дисперсия.

Отмеченные выше числовые характеристики не определяют степень зависимости составляющих X и Y. Эту роль выполняют корреляционный момент (иначе: ковариация ), который определяется следующим образом:

. (6.2.3)

Для дискретных случайных величин

(6.2.4)

Для непрерывных случайных величин

(6.2.5)

Корреляционный момент можно вычислить по формуле (6.2.6)

. (6.2.6)

Если Х и Y независимы, то . Если , то Х и Y зависимые случайные величины.

В случае случайные величины X и Y называют некоррелированными, при этом она могут быть как зависимыми, так и независимыми.

Ковариация X и Y характеризует не только степень зависимости случайных величин, но и их рассеяние вокруг точки . Кроме того, - размерная величина, что затрудняет ее использование для оценки степени зависимости для различных случайных величин.

Для оценки зависимости вводится коэффициент корреляции

, (6.2.7) где и - среднеквадратические отклонения X и Y.

Коэффициент корреляции - безразмерная величина, обладающая следующими свойствами:

1. - ограниченная величина, а именно .

2. Если X и Y – независимые случайные величины, то .

3. Если X и Y связаны линейной функциональной зависимостью , то и наоборот.

Из последнего свойства можно сделать вывод: коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости случайных величин X и Y.

Пример 6.2.1. В урне содержится 4 белых и 2 черных шара. Из нее извлекают 2 шара без возвращения. Пусть X – число извлеченных белых шаров, Y – число извлеченных черных шаров. Составить закон совместного распределения двумерной случайной величины и найти коэффициент корреляции .

Решение. Как Х, так и Y могут принимать значения 0; 1; 2. Вычислим соответствующие вероятности.

, , .

X Y
			0,4

Очевидно, что ,

,

,

,

.

Составим распределения X и Y.

X
pi			0,4

Y
pj	0,4

Найдем , .

Вычислим .

Вычислим и .

.

Вычислим .

Следовательно, Х и Y связаны линейной зависимостью.

Пример 6.2.2. Плотность совместного распределения случайных величин Х и Y задана формулой

.

Найти: 1) коэффициент с; 2) безусловные и условные плотности распределения Х и Y; 3) , ; 4) ковариацию Х и Y.

Решение. Так как , то вычислив = , получим и .

Найдем и

.

Условный закон распределения Х

.

Аналогично,

.

Вычислим и .

.

Аналогично .

Вычислим .