double arrow

Понятие двумерной случайной величины и закон ее распределения.

1

Глава 6. Двумерные случайные величины.

 

Зачастую результат опыта описывается несколькими случайными величинами: . Например, погоду в данном месте в определенное время суток можно охарактеризовать следующими случайными величинами: Х 1 – температура, Х 2 – давление, Х 3 – влажность воздуха, Х 4 – скорость ветра.

В этом случае говорят о многомерной случайной величине или о системе случайных величин .

Рассмотрим двумерную случайную величину , возможные значения которой есть пары чисел . Геометрически двумерную случайную величину можно истолковать как случайную точку на плоскости .

Если составляющие Х и Y – дискретные случайные величины, то - дискретная двумерная случайная величина, а если Х и Y – непрерывные, то - непрерывная двумерная случайная величина.

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Закон распределения двумерной дискретной случайной величины может быть задан в виде таблицы с двойным входом (см. таблица 6.1), где - вероятность того, что составляющая Х приняла значение xi, а составляющая Y – значение yj.

Таблица 6.1.1.

Y X y1 y2 yj ym
x1 p11 p12 p1j p1m
x2 p21 p22 p2j p2m
xi pi1 pi2 pij pim
xn pn1 pn2 pnj pnm

 

Так как события , составляют полную группу попарно несовместных событий, то сумма вероятностей равна 1, т.е.

. (6.1.1)

Из таблицы 6.1 можно найти законы распределения одномерных составляющих Х и Y.

Пример 6.1.1. Найти законы распределения составляющих Х и Y, если задано распределение двумерной случайной величины в виде таблицы 6.1.2.

 

Таблица 6.1.2.

Y X      
-1 0,11 0,13 0,23
  0,1 0,12 0,09
  0,11 0,08 0,03

Решение. Так как

-1    
0,47 0,31 0,22

, то проводя суммирование по строкам таблицы 6.1.2 получим распределение Х:

 

 

Аналогично суммируя по столбцам, получим распределение Y:

 

     
0,32 0,33 0,35

 

Если зафиксировать значение одного из аргументов, например , то полученное распределение величины Х называется условным распределением. Аналогично определяется условное распределение Y.

Пример 6.1.2. По распределению двумерной случайной величины, заданной табл. 6.1.2, найти: а) условный закон распределения составляющей Х при условии ; б) условный закон распределения Y при условии, что .

Решение. Условные вероятности составляющих Х и Y вычисляются по формулам

, . (6.1.2)

Тогда

а) , ,

.

Условный закон распределения Х при условии имеет вид

 

-1    
0,394 0,364 0,242

 

Контроль: .

б) Аналогично находим условный закон Y при условии .

 

     
0,5 0,364 0,136

 

Контроль: .

Закон распределения двумерной случайной величины можно задать в виде функции распределения , определяющей для каждой пары чисел вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, и при этом Y примет значение, меньшее y:

. (6.1.3)

Геометрически функция означает вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрат с вершиной в точке (рис. 6.1.1).

 

y

x

-

Рис. 6.1.1.

 

Отметим свойства .

1. Область значений функции - , т.е. .

2. Функция - неубывающая функция по каждому аргументу.

3. Имеют место предельные соотношения:

; ; ; .

При функция распределения системы становится равной функции распределения составляющей Х, т.е.

.

Аналогично, .

Зная , можно найти вероятность попадания случайной точки в пределы прямоугольника ABCD (рис. 6.1.2).

 

y

 

B(x1,y2) C(x2,y2)

 

 

A(x1,y1) D(x2,y1)

 

x

Рис. 6.1.2.

А именно,

= . (6.1.3)

Пример 6.1.3. Двумерная дискретная случайная величина задана таблицей распределения

Y X      
-1 0,17 0,11 0,09
  0,27 0,10 0,26

 

Найти функцию распределения .

Решение. Значение в случае дискретных составляющих Х и Y находится суммированием всех вероятностей с индексами i и j, для которых , . Тогда, если и , то (события и - невозможны). Аналогично получаем:

если и , то ;

если и , то ;

если и , то ;

если и , то ;

если и , то ;

если и , то ;

если и , то ;

если и , то ;

если и , то .

Полученные результаты оформим в виде таблицы (6.1.3) значений :

 

при
       
  0,17 0,28 0,37
  0,44 0,65  

 

 

Для двумерной непрерывной случайной величины вводится понятие плотности вероятности

. (6.1.4)

Геометрическая плотность вероятности представляет собой поверхность распределения в пространстве (рис. 6.1.3).

 

 

 

 

 


Рис. 6.1.3

 

Двумерная плотность вероятности обладает следующими свойствами:

1.

2.

3. Функция распределения может быть выражена через по формуле

. (6.1.5)

4. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в область равна

. (6.1.6)

5. В соответствии со свойством (4) функции имеют место формулы:

(6.1.7)

(6.1.7)

(6.1.8)

(6.1.9)

 

Пример 6.1.4. Задана функция распределения двумерной случайной величины

 

.

Найти: 1) двумерную плотность вероятности ; 2) вероятность попадания случайной величины в прямоугольник, ограниченный прямыми , , , .

Решение. 1) Так как , то дифференцируя сначала по : , а затем по : , получим

.

2) Используя формулу (6.1.3) и рис. 6.1.4, получим .

y

 

(0,1) (4,1)

 

 

(0,0) (4,0) х

Рис. 6.1.4.

 

По аналогии с условными вероятностями вводятся условные законы распределения составляющих непрерывной двумерной случайной величины , а именно

- (6.1.10) условная плотность распределения Х при заданном значении ;

- (6.1.11) условная плотность распределения Y при заданном значении .

Если случайные величины X и Y независимые, т.е. закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение принимает вторая величина, то условные и безусловные законы Х и Y совпадают. В частности, и . Таким образом, для независимых составляющих Х и Y двумерная плотность вероятности находится следующим образом

(6.1.12) и функция распределения имеет вид

. (6.1.13)

Заметим, что если имеют место соотношения (6.1.12) или (6.1.13), то составляющие Х и Y – независимые случайные величины.

Если составляющие Х и Y дискретной случайной величины – независимые случайные величины, то

, (6.1.14) где , , , .

Пример 6.1.5. Законы плотности распределения независимых составляющих Х и Y:

Найти: 1) плотность совместного распределения; 2) функцию распределения системы .

Решение. 1) В силу независимости составляющих Х и Y плотность совместного распределения

при и

при или .

2) Найдем и .

.

Аналогично .

Тогда при , ,

при или .

 


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  


1

Сейчас читают про: