Глава 6. Двумерные случайные величины.
Зачастую результат опыта описывается несколькими случайными величинами: . Например, погоду в данном месте в определенное время суток можно охарактеризовать следующими случайными величинами: Х 1 – температура, Х 2 – давление, Х 3 – влажность воздуха, Х 4 – скорость ветра.
В этом случае говорят о многомерной случайной величине или о системе случайных величин .
Рассмотрим двумерную случайную величину , возможные значения которой есть пары чисел . Геометрически двумерную случайную величину можно истолковать как случайную точку на плоскости .
Если составляющие Х и Y – дискретные случайные величины, то - дискретная двумерная случайная величина, а если Х и Y – непрерывные, то - непрерывная двумерная случайная величина.
Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.
Закон распределения двумерной дискретной случайной величины может быть задан в виде таблицы с двойным входом (см. таблица 6.1), где - вероятность того, что составляющая Х приняла значение xi, а составляющая Y – значение yj.
Таблица 6.1.1.
Y X | y1 | y2 | … | yj | … | ym |
x1 | p11 | p12 | … | p1j | … | p1m |
x2 | p21 | p22 | … | p2j | … | p2m |
… | … | … | … | … | … | … |
xi | pi1 | pi2 | … | pij | … | pim |
… | … | … | … | … | … | … |
xn | pn1 | pn2 | … | pnj | … | pnm |
Так как события , составляют полную группу попарно несовместных событий, то сумма вероятностей равна 1, т.е.
. (6.1.1)
Из таблицы 6.1 можно найти законы распределения одномерных составляющих Х и Y.
Пример 6.1.1. Найти законы распределения составляющих Х и Y, если задано распределение двумерной случайной величины в виде таблицы 6.1.2.
Таблица 6.1.2.
Y X | |||
-1 | 0,11 | 0,13 | 0,23 |
0,1 | 0,12 | 0,09 | |
0,11 | 0,08 | 0,03 |
Решение. Так как
-1 | ||
0,47 | 0,31 | 0,22 |
, то проводя суммирование по строкам таблицы 6.1.2 получим распределение Х:
Аналогично суммируя по столбцам, получим распределение Y:
0,32 | 0,33 | 0,35 |
Если зафиксировать значение одного из аргументов, например , то полученное распределение величины Х называется условным распределением. Аналогично определяется условное распределение Y.
Пример 6.1.2. По распределению двумерной случайной величины, заданной табл. 6.1.2, найти: а) условный закон распределения составляющей Х при условии ; б) условный закон распределения Y при условии, что .
Решение. Условные вероятности составляющих Х и Y вычисляются по формулам
, . (6.1.2)
Тогда
а) , ,
.
Условный закон распределения Х при условии имеет вид
-1 | ||
0,394 | 0,364 | 0,242 |
Контроль: .
б) Аналогично находим условный закон Y при условии .
0,5 | 0,364 | 0,136 |
Контроль: .
Закон распределения двумерной случайной величины можно задать в виде функции распределения , определяющей для каждой пары чисел вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, и при этом Y примет значение, меньшее y:
. (6.1.3)
Геометрически функция означает вероятность попадания случайной точки в бесконечный квадрат с вершиной в точке (рис. 6.1.1).
y
x
-
Рис. 6.1.1.
Отметим свойства .
1. Область значений функции - , т.е. .
2. Функция - неубывающая функция по каждому аргументу.
3. Имеют место предельные соотношения:
; ; ; .
При функция распределения системы становится равной функции распределения составляющей Х, т.е.
.
Аналогично, .
Зная , можно найти вероятность попадания случайной точки в пределы прямоугольника ABCD (рис. 6.1.2).
y
B(x1,y2) C(x2,y2)
A(x1,y1) D(x2,y1)
x
Рис. 6.1.2.
А именно,
= . (6.1.3)
Пример 6.1.3. Двумерная дискретная случайная величина задана таблицей распределения
Y X | |||
-1 | 0,17 | 0,11 | 0,09 |
0,27 | 0,10 | 0,26 |
Найти функцию распределения .
Решение. Значение в случае дискретных составляющих Х и Y находится суммированием всех вероятностей с индексами i и j, для которых , . Тогда, если и , то (события и - невозможны). Аналогично получаем:
если и , то ;
если и , то ;
если и , то ;
если и , то ;
если и , то ;
если и , то ;
если и , то ;
если и , то ;
если и , то .
Полученные результаты оформим в виде таблицы (6.1.3) значений :
при | ||||
0,17 | 0,28 | 0,37 | ||
0,44 | 0,65 |
Для двумерной непрерывной случайной величины вводится понятие плотности вероятности
. (6.1.4)
Геометрическая плотность вероятности представляет собой поверхность распределения в пространстве (рис. 6.1.3).
Рис. 6.1.3
Двумерная плотность вероятности обладает следующими свойствами:
1.
2.
3. Функция распределения может быть выражена через по формуле
. (6.1.5)
4. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в область равна
. (6.1.6)
5. В соответствии со свойством (4) функции имеют место формулы:
(6.1.7)
(6.1.7)
(6.1.8)
(6.1.9)
Пример 6.1.4. Задана функция распределения двумерной случайной величины
.
Найти: 1) двумерную плотность вероятности ; 2) вероятность попадания случайной величины в прямоугольник, ограниченный прямыми , , , .
Решение. 1) Так как , то дифференцируя сначала по : , а затем по : , получим
.
2) Используя формулу (6.1.3) и рис. 6.1.4, получим .
y
(0,1) (4,1)
(0,0) (4,0) х
Рис. 6.1.4.
По аналогии с условными вероятностями вводятся условные законы распределения составляющих непрерывной двумерной случайной величины , а именно
- (6.1.10) условная плотность распределения Х при заданном значении ;
- (6.1.11) условная плотность распределения Y при заданном значении .
Если случайные величины X и Y независимые, т.е. закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение принимает вторая величина, то условные и безусловные законы Х и Y совпадают. В частности, и . Таким образом, для независимых составляющих Х и Y двумерная плотность вероятности находится следующим образом
(6.1.12) и функция распределения имеет вид
. (6.1.13)
Заметим, что если имеют место соотношения (6.1.12) или (6.1.13), то составляющие Х и Y – независимые случайные величины.
Если составляющие Х и Y дискретной случайной величины – независимые случайные величины, то
, (6.1.14) где , , , .
Пример 6.1.5. Законы плотности распределения независимых составляющих Х и Y:
Найти: 1) плотность совместного распределения; 2) функцию распределения системы .
Решение. 1) В силу независимости составляющих Х и Y плотность совместного распределения
при и
при или .
2) Найдем и .
.
Аналогично .
Тогда при , ,
при или .