Понятие о многомерной случайной величине

Глава 4. Многомерные случайные величины

Определение 1. Если возможные значения случайной величины определяются одним числом, то такая случайная величина называется одномерной.

Пример. Число очков, выпавших на игральной кости при одном бросании; расстояние от орудия до места падения снаряда.

Определение 2. Если возможные значения случайной величины определяются n числами, то такая случайная величина называется многомерной (в частности, n -мерной).

Замечание 1. Многомерную случайную величину называют также системой случайных величин, случайным вектором . Будем обозначать многомерные случайные величины как или – двумерную случайную величину, – трёхмерную случайную величину. Каждую из величин , () называют составляющей (компонентой) многомерной случайной величины.

Примеры. 1. Станок-автомат штампует стальные плитки. Если контролируемыми размерами являются длина плитки Х и ширина У, то получаем двумерную случайную величину (Х, У). если же требуется контролировать толщину Z, то получается трёхмерная случайная величина (X,Y,Z).

2. Успеваемость выпускника вуза характеризуется системой п случайных величин – оценками по различным дисциплинам, проставленными в приложении к диплому.

3. Тип погоды в данном месте в определённое время суток характеризуется системой случайных величин: – температура, – влажность, – давление, – скорость ветра и т.п.

Замечание 2. Так как любая случайная величина , () есть функция элементарного события из некоторого пространства элементарных событий , поэтому и многомерная случайная величина есть функция элементарных событий : , т.е. каждому элементарному событию ставится в соответствие п действительных чисел , , …, , которые приняли случайные величины , , …, в результате испытания. В этом случае вектор называют реализацией случайного вектора .

Определение 3. Многомерную случайную величину называют дискретной, если её составляющие дискретны.

Определение 4. Многомерную случайную величину называют непрерывной, если её составляющие непрерывны.

Замечание 3. Двумерную случайную величину удобно истолковать либо как случайную точку на плоскости (т.е. как точку со случайными координатами), либо как случайный вектор . Трёхмерную случайную величину геометрически можно истолковать как точку в трёхмерном пространстве, или как вектор .