2017-12-14
364
Нахождение корней характеристического уравнения при п больше четырех, как уже отмечалось, – задача весьма трудная, поэтому разработан ряд достаточных принципов, позволяющих определить устойчивость автоматической системы, не находя корни характеристического уравнения. Эти принципы называются критериями устойчивости. Есть несколько критериев устойчивости: Рауса, Гурвица, Михайлова, Найквиста и др.
2 Критерий Гурвица (1895 г.) [алгебраический критерий устойчивости]
Система устойчива тогда и только тогда, когда все диагональные миноры главного определителя больше 0 и совпадают со знаком первого коэффициента, характеризующего уравнение, который положителен (если первый член отрицательный, то нужно помножить обе части на –1).
Для уравнений первого порядка:
а 1р + а 0 = 0, а 1 > 0
Для уравнений второго порядка:
а 2р2 + а 1р + а 0 = 0, а 2 > 0
Составим определитель Гурвица:
Для уравнений третьего порядка:
а 3р3 + а 2р2 + а 1р + а 0 = 0,
а 3 > 0
Составим определитель Гурвица:
|
|
|
Для уравнения пятого порядка
Характеристическое уравнение имеет вид:
р5 + 3р4 + 5р3 + 7р2 + 2р + 2 = 0
Составим определитель Гурвица:
Вычислим значение диагональных миноров:
Все элементы первого столбца положительны. Система устойчива.
