2017-12-14
806
Пусть у = f(x)– дифференцируемая и строго монотонная функция на некотором промежутке X. Если переменную y рассматривать как аргумент, а переменную х как функцию, то новая функция x =φ(y) является обратной к данной и непрерывной на соответствующем промежутке Y.
Теорема. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции. т.е.
Производные высших порядков
Производная 
от функции 
называется производной первого порядка.Но производная 
сама является функцией, которая также может иметь производную.
Определение. Производной п-го порядканазывается производная от производной (n –1)-го порядка.
Обозначение производных: 
–второго порядка(или вторая производная), 
– третьего порядка(или третья производная).
Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры, например, 
…, 
или 
и т.д.
Выясним механический смысл второй производной.Выше было установлено, что если точка движется прямолинейно по закону s= s(t)(где s– путь, t– время), то 
представляет скорость изменения пути в момент t0. Следовательно, вторая производная пути по времени 
есть скорость изменения скорости или ускорение точки в моментt0.
Пример 1.Найти производные до п-гопорядка включительно от функции у= ln х.
и т.д. Очевидно, что производная п-го порядка 
