Уравнение касательной к графику функции

Уравнение касательной к кривой у = f (х) в точке x ₀ примет вид

Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции

1. Обозначить абсциссу точки касания буквой x ₀.

2. Вычислить f (х ₀).

3. Найти и вычислить .

4. Подставить найденные числа x ₀, f (х ₀), в формулу

Пример 1. Составить уравнение касательной к графику функции в точке x =1.

Решение:

Воспользуемся алгоритмом, учитывая, что

1. x ₀=1.

2.

3.

4. Подставим найденные числа в формулу.

;

y =2– x.

Ответ: y =2– x.

На рисунке 6 изображена гипербола , построенная прямая y =2– x.

Рисунок 6 – гипербола

Пример 2. К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой y =4 x –5.

Решение. Чтобы провести касательную к функции необходимо найти составить ее уравнение. Искомая касательная должна быть параллельна прямой y =4 x –5. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда равны их угловые коэффициенты. Значит, угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту заданной прямой: k = 4, а .

Таким образом, значение x ₀мы можем найти из уравнения .

Имеем:

Из уравнения , т.е. , находим: x1=2, x2=-2. Значит, имеются две касательные, удовлетворяющие условию задачи: одна в точке с абсциссой 2, другая в точке с абсциссой -2.

Далее действуем по алгоритму.

1. x ₁=2, x ₂=-2.

2.

3.

4. Подставим значения x ₁=2, в формулу и получим , т.е.

Подставим значения x ₂ = –2, в формулу и получим , т.е.

Ответ: