Численное дифференцирование на основе интерполяционнойформулы Лагранжа

Следуя (1), будем дифференцировать многочлен Лагранжа (8) по x как функцию от t:

Согласно(3) x = x ₀+ th, атакже , получимокончательно:

(9)

Пользуясь формулой (9) можно вычислить приближенные значения производной функции f (x), еслионазадананаотрезке [ a, b ] значениямивравноотстоящих узлах (при этом параметр t пробегает значения от 1 до n). Аналогично могут быть найдены производные функциивысшихпорядков.

Пример 2. Вычислить приближенное значение производной функции, заданной таблицей в точке x = 4.

Применяя формулу (9) получим (здесь n = 2, h = 1):

Учитывая, что узел x = 4 соответствует значению t =1 (т.е. ), получаем .

Если известно аналитическое выражение функции f (x), то формулу для оценки погрешности численного дифференцирования можно при этом же условии получить на основе формулы погрешности интерполирования:

(10)

где ξ = ξ(x) – значение из отрезка [ a, b ], отличное от узлов и x. Учитывая (2) и допуская, что f (x) дифференцируема n +1 раз, запишем:

(11)

формула (11) значительно упрощается, если оценка находится для значения производной в узле x_i таблицы. В этом случае, учитывая (7), получаем:

(12)

где ξ – промежуточное значение между . Обозначив

получим верхнюю оценку абсолютной ошибки численного дифференцирования в узлах:

(13)