Применяя для численного дифференцирования на отрезке[ a, b ]интерполяционный полином, естественно строить на этом отрезке систему равноотстоящих узлов , которыми отрезок делится на n равных частей: (i = 0,1, 2,..., n − 1). В этом случае шаг интерполирования имеет значение
h = (b − a)/ n,
а интерполяционный многочлен Лагранжа (как и интерполяционные многочлены Ньютона) строится на равноотстоящих узлах и имеет более удобный вид. Примем подстановку:
(3)
с учётом представления:
получим новые выражения для . Учитывая, что согласно принятому обозначению
и используя (3), последовательно находим:
т.е. вобщемслучае:
(i = 0,1, 2,..., n)(4)
Используя (4), получаем:
Сцельюсокращениязаписейвведёмобозначение
тогдавыражение принимаетвид:
(5)
Учитывая, чтоприпостоянномшагеимеетместо
(i = 0,1, 2,..., n)
последовательнонаходим:
(6)
…………………………
.
Заметим, чтов (6) ровно n строк (i -ястрокаотсутствует), причёмзначенияразностейизпервых i строкположительны, аостальных – отрицательны. Используя (6), получаем:
|
|
т.е.
(7)
С учётом представлений (5) и (7) формула Лагранжа (лекция №5, (9)) для равноотстоящих узлов принимает вид:
(8)
Пример 1. Составить интерполяционный многочлен Лагранжа для функции, заданной своими значениями на равноотстоящих узлах (n =2, h = 1):
x | |||
f (x) | -2 |
Узловые табличные значения функции (4; -2; 6) получаются по этой формуле соответственно при t = 0; 1; 2.