Пусть 
. Рассмотрим соответствующий график (рис. 1):
По графику видно, что какую бы ε-окрестность точки А мы ни взяли, найдется такая δ-окрестность точки а, что все значения аргумента из нее отобразятся в выбранную ε-окрестность. Второй же рисунок (рис. 2) показывает, что, если точка А не является пределом функции в точке а, то существует такая ε-окрестность точки А, для которой соответствующая δ-окрестность не найдется. Таким образом, можно высказать предположение, что понятие предела функции на языке окрестностей характеризуется следующим определением, принадлежащим французскому математику О. Коши (1821 г.). (Здесь буквами а и А будем обозначать как числа, так и символы: ∞, +∞ -∞. Всего имеем 16 различных комбинаций).
Определение Коши:А - называется пределом 
в точке а (или при х, стремящемся к а), если какую бы окрестность точки А мы ни взяли, найдется такая окрестность точка а, что все значения аргумента из нее будут с помощью данной функции отображаться в выбранную окрестность точки А, т.е.
Другая запись определения:
Теорема об арифметических действиях над пределами: Пусть 
, а 
. Тогда существует в точке а пределы суммы, произведения и частного этих функций (последнее, если 
), и при этом
; 
; 
.
2017-12-14
813
