Понятие сложной функции. Теорема о пределе сложной функции

Пусть даны множества X, Y, Z и функции , (т.е. ) и . Тогда композиция этих функций дает новую функцию: - сложная функция.

Например,

1) где , т.е.

2) где , т.е.

3) где , т.е.

В последнем случает, например, , а , т.е. сложная функция имеет вид: .

Теорема о пределе сложной функции: Если существует

1) 2)

Тогда существует , и .

Примеры 1)

В этом решении возникает вопрос о возможности сокращения дроби при переходе к пределу. Эта возможность объясняется так. Функция не определена в точке 1. Поэтому ее предел зависит только от ее поведения в проколотой окрестности 1, а в проколотой окрестности эта функция полностью совпадает с функцией х-1. Поэтому пределы этих функций равны.

2)

В предпоследнем равенстве использована теорема о пределе сложной функции и свойство, что .

3)

В последнем равенстве использована теорема о пределе сложной функции. Здесь .

Предел функции на бесконечности.

Если , то функция f(х) называется бесконечно малой в окрестности точки х₀.

Например: функция у=х-4 при х 4 является бесконечно малой.

Если или , то функция называется бесконечно большой в окрестности точки х_0.

Например: у=х³ при x является бесконечно большой

Замечание: д анные выше определения справедливы и при x ± .

Непрерывные функции, их свойства. Односторонние пределы. Точки разрыва и их классификация.