Непрерывность функции в точке

Рассмотрим и найдем значение функции в точке π: . Точнее .

3,12

х

у

Рис. 3

 

2) Аналогично для

(!)

 

Мы видим, что для функции f ее значения в точках х=3,1 и х=3,14 мало отличаются между собой, а для другой функции У сильно отличаются. Эффект объясняется тем, что в первом случае имеем дело с непрерывной функцией, а во втором – с разрывной (см. рис.

у= x2

х

у

Рис. 4

3, 4).

Следовательно, вычисления с разрывными функциями надо проводить осторожно. А для этого их надо уметь отличать до построения графика.

Перед нами стоит задача сформулировать определение непрерывности функции в точке х=а. Хотя интуитивно понятие непрерывной функции ассоциируется с «непрерывностью» ее графика, но мы не можем это условие принять за определение непрерывности функции. Определение должно носить аналитический характер. Действительно, во-первых, анализ не может опираться на геометрию. Наоборот, в самой геометрии непрерывность линии определяется с помощью понятия непрерывной функции. Во-вторых, в самом анализе аналитическое исследование должно предшествовать построению графика. В-третьих, непрерывность функций обычно устанавливается не по самому определению, а на основании рассматриваемых нами позже теорем, которые доказываются с использованием именно аналитического определения непрерывности. Геометрически их доказать невозможно. Обозначим , где .Возможны следующие 4 случая:

1) А - существует, - не существует (рис. 5).

 

а

А

у

х

Рис. 5а

а

А

у

х

Рис. 5б

 

2) А - не существует

3) А – не существует

- существует (рис. 6) -не существует (рис. 7)

 

f(a)

у

х

а

Рис. 6

у

х

а

Рис. 7

 

 

4) А – существует, - существует (рис. 8).

 

 

А=f(a)

у

х

а

Рис. 8

 

В 4-ом случае верна теорема:

Теорема: Если в данной точке функция имеет как значение, так и предел, то они равны между собой, т.е.

Проведенная классификация показывает, что непрерывность графика получается только в последнем случае. Его и примем за определение:

Определение: Функция f называется непрерывной в точке а, если в этой точке существуют как ее значения, так и предел. При этом мы доказали, что предел и значение равны между собой, если они оба существуют.

Это определение можно перефразировать по Гейне и по Коши:
Определение Гейне: Функция f называется непрерывной в точке а, если .

Определение Коши: Функция f называется непрерывной в точке а, если .