Свойства дифференцируемых функций. Правила дифференцирования, дифференцирование сложной функции

Таблица производных элементарных функций

1)	2)
3)	4)
5)	6)
7)	8)
9)	10)
11)	12)
13)	14)

Кроме таблицы производных основных элементарных функций при нахождении производных пользуются следующими правилами:

(с=const, u=u(x), v=v(x)) 1) c′=0 2) (u±v)′=u′±v′ 3) (cu)′=c·u′

4) (uv)′=u′v+uv′ 5)

Установим связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции следующей теоремой: если функция y=f(x) дифференцируема в точке х₀, то она в этой точке непрерывна. Обратная теорема неверна.

Например, функция у=|x |, непрерывна в точке х =0, но не дифференцируема в этой точке. Почему мы должны заключить, что производная в точке х =0 не существует?

Производной второго порядка или просто второй производной функции у=f(x) называется производная от ее производной у′=f′(x), т.е. y′′=(y′)′ или f′(x)=(f′(x))′.

Аналогично, производной третьего порядка или третьей производной данной функции называется производная от ее второй производной.

Вообще, производной n -го порядка или n -ой производной от функции у=f(x) называется производная от ее (n-1)-ой производной.

Для производной n -го порядка принято обозначение: у⁽ⁿ⁾, f⁽ⁿ⁾(x).

Пример. Дана функция у=tgx. Найти y′′.

;