Классификация точек разрыва функции

Определение: Пусть дана функция f с областью определения . Тогда точка a называется точкой разрыва данной функции, если

2. Функция не является непрерывной в этой точке.

Проведем классификацию точек разрыва.

Определение: Если функция в точке разрыва имеет конечные односторонние преде

f(a)

Рис. 10

лы, то в этом случае разрыв функции называется разрывом 1-ого рода или скачком (рис.9, 10).

В частности, скачком называется устранимым разрывом, если односторонние пределы равны между собой (рис.10). Разрыв этот называется устранимым потому, что функция в данной точке является почти непрерывной. Действительно, достаточно изменить или приписать функции в данной точке значение, равное односторонним пределам, как новая функция станет непрерывной.

Определение. Точка а называется точкой разрыва 2-ого рода, если хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или вообще не существует.

Производная функции в точке, правила дифференцирования

Задачи, приводящие к понятию производной

Задача о касательной

Рассмотрим в прямоугольной декартовой системе координат график непрерывной функции у=f(x) и любую точку М₀(х₀;f(x₀)), принадлежащую графику.

Придадим аргументу х в точке х₀ произвольное приращение D х ≠0. На графике получим точку М(х₀+Dх;f(x₀+Dх)). Через точки М₀ и М проведем секущую, в точке М₀ проведем касательную к графику функции.

Из школьного курса нам известно определение касательной к окружности, как прямой линии имеющей с окружностью единственную общую точку. Но в общем случае это определение неверно.

Дадим точное определение касательной к кривой. Устремим D х к нулю. Тогда точка М, двигаясь по кривой, будет приближаться к точке М₀, остающейся неподвижной. Положение секущей будет изменяться: секущая будет стремиться занять положение касательной. Если бы точка М совместилась с точкой М₀, то секущая «превратилась» бы в касательную.

Угловой коэффициент секущей (k _сек) будет стремиться к угловому коэффициенту касательной (k _кас), т.е. .

Рассмотрим прямоугольный треугольник М₀NM:

. Известно, что угловой коэффициент секущей равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси ОХ.

Тогда , если этот предел существует и конечен.

Таким образом, можно сформулировать определение: касательной к кривой, проведенной в точке х₀, называется прямая линия, имеющая с кривой единственную общую точку, угловой коэффициент которой равен конечному пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что последнее стремится к нулю, т.е.