double arrow

Экспериментальный анализ одномерной случайной величины


Пусть имеется набор (выборка) экспериментальных данных x1, x2,…xN. Обработку этих данных для получения эмпирических характеристик одномерной СВ производят обычно в следующей последовательности.

1 Построение вариационного ряда (ряда распределения) Вариационный ряд z1, z2,…zN получают из исходных данных путем расположения xm (m=1,2,…,N) в порядке возрастания от xmin до xmax так, чтобы xmin= z1 ≤ z2 ≤…≤ zN = xmax.

2 Построение диаграммы накопленных частот. Диаграмма накопленных частот является эмпирическим аналогом интегрального закона распределения. Диаграмму строят в соответствии с формулой

(1.16)

 

где μN (x) – число элементов в выборке, для которых значение xi < x.

При построении диаграммы на оси абсцисс указывают значения наблюдений xm (или zl). Значение по оси ординат равно нулю левее точки xmin и далее во всех других точках xm диаграмма имеет скачок равный 1/N. Если существует несколько совпадающих значений xm, то в этом месте на диаграмме происходит скачок, равный λ/N, где λ – число совпадающих точек. Для величин x > xmax значение диаграммы накопленных частот равно 1. При N → ∞ → F(x).




3 Построение гистограммы выборки Гистограмма является эмпирическим аналогом функции плотности распределения f(x). Этапы построения гистограммы:

— Нахождение предварительного количества квантов (интервалов), на которое должна быть разбита ось Ox. Это количество К определяется с помощью оценочной формулы

K = 1 + 3,2lgN (1.17)

Найденное значение необходимо округлить до ближайшего целого.

— Определение длины интервала

∆x = (xmax – xmin) / K (1.18)

Величину ∆x можно округлить для удобства вычислений.

— Середину области изменения выборки (центр распределения) (xmax+xmin)/2 принимают за центр некоторого интервала, после чего определяют границы и окончательное количество указанных интервалов так, чтобы в совокупности они перекрывали всю область от xmin до xmax.

— Подсчет количества наблюдений Nm, попавших в каждый квант: Nm равно числу членов вариационного ряда, для которых справедливо неравенство

xm ≤ zl < xm + ∆x,

где xm и xm + ∆x – границы m-го интервала. Значения zl, попавшие на границу между (m-1)–м и m –м интервалами, относят к m –му интервалу.

— Подсчет относительного количества (относительной частоты) наблюдений Nm/N, попавших в данный квант.

— Построение гистограммы, которая представляет собой ступенчатую кривую, значение которой на m –м интервале (xm, xm + ∆x) постоянно и равно Nm/N.

4 Определение оценок математического ожидания , дисперсии и среднего квадратического отклонения

(1.19)

(1.20)

. (1.21)

 

 







Сейчас читают про: