Интерполяционный многочлен Лагранжа

На отрезке [a,b] в узлах интерполяции х ₀, х _1,…, х_n задается функция f(x) своими n + 1 значениями у ₀ = f(x ₀ ), …, y_n=f(x_n).

Требуется построить многочлен L(х), совпадающий в узлах интерполяции х ₀, …, х_n со значениями заданной функции:

L(x ₀ ) = y ₀, …, L(x_n) = y_n, где h = x_{i+ 1} – x_i ¹ const – шаг интерполяции.

Представим многочлен

,

где a_i (i = 0, 1, 2, …, n) неизвестные постоянные коэффициенты, которые нам необходимо найти.

Пусть L_n(x) в узлах интерполяции х ₀, х ₁, …, х_n принимает значения L_n(x ₀ ) = у_n.

Тогда в узле интерполяции х ₀ имеем

 

,

,

…

.

 

Запишем это в виде системы n + 1 уравнений с n + 1 неизвестным

а ₀ , а ₁, а ₂, …, а_n.

 

где x_i и y_i (i = 0, 1,…, n) – табличные значения аргумента и функции.

Находим значения неизвестных, как

 

; ; ; …; ,

где – определитель системы.

 

 

Если ¹ 0, то система имеет единственное решение

 

 

.

 

Перепишем этот многочлен в другой форме

 

,

где

удовлетворяет следующим условиям:

 

.

 

В точках x ₀, x ₁, …, x_{i- 1}, x_i+1, …, x_n функция Q_i(x) обращается в ноль, а в точке х_i равна 1.