Метод наискорейшего спуска

 

 

Распространенным методом минимизации функций большого числа переменных является метод градиентного спуска. Последующее приближение получается из предыдущего смещением в направлении, противоположном градиенту функции F(x). Каждое следующее приближение ищется в виде

.

Приведенное описание не определяет алгоритм однозначно, т.к. ничего не сказано о выборе параметра . Его можно определять из условия минимума величины .

В этом случае рассматриваемый метод называют методом наискорейшего градиентного спуска.

Для функции , соответствующей системе линейных уравнений с матрицей , задача нахождения минимума решается в явном виде

так как

и

.

Обозначим через , т.е.

 

.

 

Предположим, что . Учитывая, что , вычислим :

 

 

 

 

 

,

 

 

.

 

 

ЛЕКЦИЯ 6. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ЭКСТРАПОЛИРОВАНИЕ

 

1. Математическая постановка задачи интерполирования.

В экономике и технике, часто приходится сталкиватьcя с необходимостью вычисления значений функции у = f(х) в точках, отличных от значения аргумента, фиксированных в таблице.

Подобные задачи практики формализуются как математические задачи интерполирования.

Пусть на отрезке [a, b] задана функция у = f(х) своими n + 1 значениями ; ; …; в точках x ₀, x ₁, …, x_{n ,} которые назовем узлами интерполяции.

Требуется найти аналитическое выражение табулированной функции F(х), совпадающее в узлах интерполяции со значениями заданной функции,

 

y 0	y 1	…	yn- 1	yn
x 0	x 1	…	xn- 1	xn

 

т.е.

; ; …; .

 

Процесс вычисления значений функций в точках х, отличных от узлов интерполяции, называется интерполированием функции f(х).

Если аргумент х находится за пределами отрезка интерполирования [x ₀, x_n], то задача определения значения функции в точке х называется экстраполированием.

Задача становится однозначной, если в качестве интерполирующей функции f(х) для функции у = f(х), заданной своими n+ 1 значениями, выбрать многочлен F_n (x) степени не выше n, такой, что

 

; ; …; .

Многочлен F_n(x) удовлетворяющий этим условиям, называют интерполяционным многочленом, а соответствующие формулы – интерполяционными.

В случае, когда F(x) выбирается в классе степенных функций, интерполяция называется параболической.

 

При интерполировании возникает ряд задач:

 

1. Выбор наиболее удобного способа построения интерполяционной функции для каждого конкретного случая.

2. Оценка погрешности при замене f(x) интерполирующей функцией F(x) на отрезке [a, b].

3. Оптимальный выбор узлов интерполяции для получения минимальной погрешности.