Итерационные методы решения нелинейных уравнений

А). Метод простой итерации.

Представим уравнение через и многократным применением формулы до тех пор, пока не даст , где – заданная погрешность вычисления.

б). Метод деления отрезка пополам (Дихотомии).

Для :

1. находим ;

2. вычисляем ;

3. если , задаем , иначе .

4. Проверяем условие : если оно выполняется, идем к п.1., если не выполняется, заканчиваем вычисление и считаем, что приблизительно равен искомому решению исходного уравнения с заданной точностью .

Число итераций при использовании этого метода

в). Метод Хорд.

Пусть имеем уравнение , где - непрерывная функция на , имеющая непрерывные и .

Корень считается отделенным и находится на отрезке , т.е.

Уравнение хорды проходящей через точку А ₀ и В (см. рис.5.1, рис.5.2)

Рис. 5.1

Рис. 5.2

имеет вид

Найдем х = х _1, для которого y = 0

Если корень нас не устраивает, то мы находим

;

...

Рассмотрим случай, когда первая и вторая производные имеют разные знаки. (рис.5.3):

, .

Рис. 5.3

...

Неподвижными концами отрезка является тот, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной .

Г). Метод Ньютона.

Пусть корень уравнения f(x) = 0 отделен на отрезке [a, b], причем и непрерывны и сохраняют постоянные значения на всем отрезке [a, b].

Геометрический смысл метода Ньютона в том, что дуга кривой y = f(x) заменяется касательной к этой кривой.

Первый случай (рис.5.4):

f(a) < 0, f(b) > 0, > 0, > 0(основная линия)

или

f(a) > 0, f(b) < 0, < 0, < 0(пунктирная линия).

Рис. 5.4

Проведем касательную к кривой y = f(x) в точке B ₀

Полагая y = 0, x = x ₁ _, получим

...

Второй случай (рис. 5.5):

f(a) < 0, f(b) > 0, > 0, < 0(основная линия)

или

f(a) > 0, f(b) < 0, < 0, > 0(пунктирная линия),

Рис. 5.5

Полагая y = 0, х = х ₁, получим

_, ,..., ^.

При выборе начального приближения корня необходимо руководствоваться правилом: за исходную точку следует выбирать тот конец [a, b], в котором знак функции совпадает со знаком , т.е.

, a = x ₀ _.

д). Модифицированный метод Ньютона.

Заключается в том, что вместо вычисления производной на каждом шаге итераций находится ее приближенное значение

, .

Следовательно, итерационная формула имеет вид

Значение не обязательно должно быть постоянно. Равенство позволяет уменьшить число исходных данных при вводе.

Метод Рыбакова

Можно рассматривать этот метод как модификацию метода Ньютона. При замене некоторым числом , где – значение х на [a, b], при котором производная максимальна.

При сходимость не нарушается, но замедляется.

Метод Рыбакова удобен для поиска всех корней уравнения f(x) = 0 на [a,b].

1. Задаем начальные значения х = х ₀ = а.

2. Для каждой последовательной итерации (n = 0, 1, 2, …) вычисляем

и проверяем условие x_n < b, если оно выполняется, то, значит, найдены все корни, в противном случае проверяем выполнение условия . Если оно не выполняется, то повторяем цикл с пункта 2 и переходим к пункту 3.